Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
D' (Л) = SD (A)S~\
В этом случае
D'(A)D'{B) = vAiBD'(AB), (12.8)
т. е. эквивалентные представления принадлежат одной и той же системе множителей. Если можно найти матрицу 5, которая все матрицы представления D' (Л) позволяет записать в виде
Д'(Л) =
D\ (Л) О
О D'2{A)\
(12.9)
то представление D (Л) приводимо и разлагается в прямую сумму проективных представлений Dj-j-Дг. Из (12.8) и (12.9) видим, что система множителей (0j4i в одна и та же для D(A), D' (Л), D[ (Л) и ?>? (Л).
Проективное представление (12.6) неприводимо, если не существует эквивалентного представления вида (12.9).
Элементы (оА в системы множителей в (12.6) нельзя выбирать произвольно. Представим себе, что конечная группа Н состоит из h элементов
HQ=E, нх........ял_,.
Если матрицы D{Hj) задают некоторое проективное представление группы Я, соответствующее системе множителей (0j4i в, то для любых трех элементов Р, Q, R группы Н
D(P)D(Q) = <oPtQD(PQ),
D(P)D(Q)D(R) = (oPtQD(PQ)D(R) = wP>QwPQiRD(PQRy, ( ' }
D(Q)D(R)=<*QiRD(QR),
D (Я) D (Q) D (R) = (oQ, rD (Р) D (<QR) = coQi рыр< QRD (PQR); ( '1 °3)
aP,QaPQ, R—аР, QRaQR Q’ R ~ ^0......^h-1)- (12.1 1)
Таким образом, ассоциативный закон группового умножения приводит К тому, ЧТО Л2 множителей (Й4 в должны удовлетворять Л3 уравнениям (12.11).
Наоборот, покажем теперь, что дія каждой системы, состоящей ИЗ Л2 ОТЛИЧНЫХ ОТ нуля множителей (Й4 в, которые удовлетворяют
540 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
условиям (12.11), найдется проективное представление группы Н, принадлежащее этой системе множителей в. Чтобы доказать это,
введем в рассмотрение h независимых переменных хно> xHi..........xHh
и построим матрицу X размером h X h с матричными элементами Хр q = WpQ-i^ qxpq-\ (Р, Q = Hq, ..., Hh_^. (12.12)
Каждой строке и каждому столбцу матрицы X соответствует некоторый элемент группы Ht. Очевидно, что матрицу X можно записать в виде
х= 2 D(R)xr, (12.13)
RdH
где сумма берется по всем элементам R группы Н. Матрицу D(R) можно найти из соотношения (12.12), полагая xR=\, а все остальные переменные — равными нулю. Покажем, что матрицы D(R) удовлетворяют условию (12.6).
Пусть уНа, ........... ун^ i — второй набор независимых пере-
менных. Определим h переменных zHa, zHi, ..., zH с помощью соотношений
Zp= 2 (12.14)
RS~P
где суммирование распространяется на все элементы R и S, для
которых RS=P. Будем обозначать матрицу (12.12) У или Z, если
вместо переменных xR взяты переменные yR или zR. Матричный элемент произведения XV, стоящий на месте (Р, Q), равен
(XY)P' Q = SCOpyj-l>y?COy?Q->, QXPR~iyRQ~1' (12.15)
R
Но из равенства (12.11) для элементов (PR*1), (RQ*1), Q, мы имеем
aPR~\RaRQ~l, Q ~ aPR~K RQ~l<i>PQ~l, Q' вследствие чего формула (12.15) принимает вид
(XY)p' Q = (OpQ-!> Q 2 ^РД-1, RQ~lXPR~'yRQ~1' (12.16)
д
Сравнивая сумму в формуле (12.16) с суммой, стоящей в равенстве (12.14), мы видим, что первая сумма равна zpQ-ь так что
(XY)p' q = (OpQ-i^ qZpQ-1 = Zp' q, (12.17)
или же
XY = Z. (12.17a)
Подставляя вместо X, Y и Z их выражения (12.13) и (12.14), получаем
2 D(R)D(S)xRys = ^D(T)zT= 2 <or,sD(.RS)xrvs. (12.18)
R, S T R, S
§ 1. Проективные представления конечных групп 541
Приравняв коэффициенты при произведениях независимых переменных xRys, найдем, что матрицы D (R) и D (S) порядка h удовлетворяют соотношению
D(R)D(S) = v>RtSD(RS), (12.19)
Из (12.12) и (12.13) следует, что матрица D(R) содержит только один ненулевой элемент в каждой строке и каждом столбце и поэтому является неособенной матрицей. Итак, матрицы D(R), образованные с помощью соотношений (12.12) и (12.13), определяют представление, принадлежащее данной системе множителей а>д,в. Таким образом, мы показали, что необходимое и достаточное условие существования представлений, принадлежащих некоторой системе множителей (0^ в, состоит в том, чтобы Л2 чисел (0^ в удовлетворяли Л3 уравнениям (12.11).
Уравнения (12.11) имеют бесконечное множество решений. Если
(о^ в есть решение, а сНа, сЯ]......... сЯ/[ (— любые отличные от
нуля константы, то
*'a,b = ?JL&a>b <12-2°)
АВ
есть также решение уравнений (12.11). Решения (о^ в и (о^ в, для которых можно найти константы с так, чтобы выполнялось равенство (12.20), называются ассоциированными, или эквивалентными, системами множителей. Если мы найдем представление D(A), принадлежащее системе множителей (о^ в, то матрицы
D' (А) = caD (А) (12.21)
будут удовлетворять соотношению D (A) D (В) = сАсBD (АВ) =
= bD'(AB)=u'a bD'(AB). (12.22)
АВ
Таким образом, если две системы множителей эквивалентны, то представления, принадлежащие одной из них, определяются непосредственно из представлений, принадлежащих другой, с помощью соотношения (12.20). Говорят, что представления, принадлежащие неэквивалентным системам множителей, являются представлениями различного типа.
Разобьем теперь все решения уравнений (12.11) на классы эквивалентных систем множителей. Число таких классов конечно. Взяв от правой и левой частей равенства (12.19) определители и положив
det D (R) = dR,
