Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Задача. Получите самостоятельно результаты, приведенные в табл. 74 для у = 3/2 и j — 5/2.
Комбинируя результаты, приведенные в табл. 74, с результатами, представленными в табл. 50, мы приходим к классификации спин-орбитальных функций. Соответствующая зарядовая функция полностью определяется заданием величины изотопического спина Т. Представления группы S/?(2y-f-1) характеризуются символами (сг^ ... aj), где СГ;<^2. Поскольку схема Юнга для такого символа содержит два столбца, ее можно описывать, задавая сумму и разность длин этих двух столбцов. Запишем длины этих двух столбцов в виде (1/2)5 ± t. Старшинство s представляет собой наименьшее число частиц, для которого может встретиться представление группы Sp(2j-\- 1); квантовое число t называется приведенным изотопическим спином. Результаты всех вычислений представлены в табл. 75.
Задача. Выведите результаты, содержащиеся в табл. 75 при j = 3/2, у =5/2.
ГЛАВА 12
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. МАЛЫЕ ГРУППЫ
В предыдущих главах мы рассматривали представление групп линейными операторами, действующими на векторы в гильбертовом пространстве. Каждому элементу g группы О мы ставили в соответствие линейный оператор D (g) и требовали, чтобы
D(gl)D(g2) = D(gJ, если glg2 = g3- С12-1)
Операторы D (g) представления действуют на векторы i|) в гильбертовом пространстве. Однако в квантовой механике чистое состояние физической системы описывается не нормированным вектором ф, а лучом єі|), где є — произвольный фазовый множитель (|е| = 1). Поэтому каждому элементу g группы симметрии О мы должны поставить в соответствие оператор D(g), действующий на лучи в гильбертовом пространстве и осуществляющий отображение одних лучей в другие. Таким образом, с каждым элементом группы g мы связываем некоторый процесс „сдвига", в результате которого каждое физическое состояние системы переходит в другое возможное физическое состояние этой же системы. В силу сказанного нам не следует a priori считать, что операторы представления удовлетворяют условиям (12.1). Вместо этого мы должны лишь потребовать, чтобы
D(gl)D(g2) = zD(gJ. если glg2 = g3, (12.2)
где є — фазовый множитель, зависящий от gY и g2. Такие представления называются проективными представлениями; представления же, определяемые условием (12.1), называются векторными представлениями. В этой главе мы рассмотрим задачу о нахождении проективных представлений произвольной группы. Одновременно мы будем изучать условия, при которых проективное представление (12.2) можно заменить векторным представлением (12.1).
§ 1. Проективные представления конечных групп
Примечательно, что задача нахождения проективных представлений конечных групп была сформулирована и полностью решена задолго до создания квантовой механики. В серии своих статей Шур изложил общий метод нахождения неприводимых представлений конечных групп
538 Глава 12. Проективные представления. Малые группы
с помощью дробно-линейных преобразований (проективных преобразований).
Под проективным представлением мы понимаем следующее.
Каждому элементу А, В, ... конечной группы мы ставим в соответствие некоторое дробно-линейное преобразование
__ al\x\ JraHx2JT ••• + а1> п-\хп-\ + аіп Л 2 3)
anlXl ~han2Xl + ••• ~han, П-1ХП-1 ~hann (t=l........Я —1),
где матрица D(A) коэффициентов atj неособенная. Дробно-линей-
ные преобразования задают представление группы Н, если
[А){В} = {АВ]. (12.4)
Размерность такого представления равна порядку п матриц D (Л).
Преобразования (12.3) можно рассматривать как линейные преобразования
П
(*=1..............я). О2-5)
где
*i = T- (* = 1.......«-О (12.5а)
У п
являются однородными координатами.
Из (12.3) или (12.5а) мы видим, что умножение элементов atj на один и тот же общий множитель не изменяет преобразования {Л}. Если выписать матрицы, соответствующие соотношению (12.4), то ока-
м/ртГЯ итг\
D(A)D(B)=(*AiBD(AB), (12.6)
где toj4i в — некоторый набор множителей, зависящих от выбора
матриц D(A) и D(B). Наоборот, если нам дана некоторая система
неособенных матриц, удовлетворяющих условию (12.6), то мы можем найти соответствующее этой системе представление (12.4) посредством дробно-линейных преобразований. Таким образом, задача нахождения представлений некоторой группы с помощью дробно-линейных преобразований эквивалентна нахождению представлений этой группы с помощью линейных преобразований D(A), удовлетворяющих условию (12.6).
Представление (12.6) мы будем называть проективным представлением, соответствующим данной системе множителей ыА>в. В частности, если все множители сол> в равны единице, то условие (12.6) будет определять обычные представления, которые мы будем называть векторными представлениями.
Если матрицы двух представлений отличаются друг от друга только множителем
D' (Л) = aD (Л), D'{B)=bD{B), (12.7)
§ 1. Проективные представления конечных групп
539
то они соответствуют одному и тому же набору дробно-линейных преобразований {Л}, [В], .... и называются ассоциированными.
Понятия эквивалентности представлений и их приводимости остаются такими же, как раньше. Проективное представление D' (Л) эквивалентно представлению D(A) [формула (12.6)], если для всех Л, принадлежащих Н, существует неособенная матрица 5 такая, что
