Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Терминология, применяемая в теории группы, используется также и в теории алгебр Ли. Так, если выполняется условие (8.66), говорят, что алгебра Ли G абелева. Если выполняется условие (8.67), алгебра Н называется подалгеброй алгебры G. Алгебра Н называется инвариантной подалгеброй, если выполняется условие (8.68). Если выполняется условие (8.68а), алгебра Ли G будет прямой суммой алгебр Н и G — Н. Точно так же алгебра Ли G простая, если нельзя выполнить условий (8.68), и полупростая, если нельзя удовлетворить условиям (8.68) и (8.686).
Вывод всех возможных структур алгебр Ли представляет собой чрезвычайно сложную математическую проблему. Укажем лишь на некоторые стороны этой процедуры.
Проблема состоит в том, чтобы при каждом значении т найти все возможные вещественные решения уравнения (8.58)
§ 9. Структура алгебр Ли
(8.58)
удовлетворяющие условию (8.56)
(8.56)
§ 9. Структура алгебр Jlu
357
Трудность этой задачи обусловлена тем, что система уравнений (8.58) квадратична относительно неизвестных. Кроме того, многие решения будут эквивалентны друг другу, ибо если мы заменим базис Хр базисом
X'(1=apvXv (8.70)
(матрица apv неособенная), то получим новые структурные константы с'*, которые также будут удовлетворять условиям (8.56) и (8.58):Р
= аоЛ] =
= apvaoX Fv- ~ аРмЪх*=
поэтому
Умножив на матрицу, обратную матрице а, получим
c,il = а а ,с\а-1.
ро pv оХ vX хц
С = ап,ааАа:,] ¦ (8-7 1 а)
Задача. Докажите, что операторы Хр, заданные соотношением (8.70), удовлетворяют условиям (8.56) и (8.58).
При r= 1 все элементы алгебры Ли кратны одному и тому же базисному вектору X, вследствие чего все коммутаторы обращаются в нуль. Соответствующая группа Ли есть однопараметрическая абелева группа.
При т = 2 мы имеем два базисных элемента Xlt Х2 и коммутатор
[Хх, Х2] = йХy -(-ЪХ2.
Если а — Ь — 0, то
[Хь Х2]=0.
В этом случае алгебра абелева и совпадает с прямой суммой алгебр, порожденных элементами Хх и Х2. Если же, например, аф 0, то базисные элементы можно заменить элементами
Х\ = аХх + ЬХ 2, Х2 = -^Х2,
для которых
358
Глава 8. Непрерывные группы
Мы видим, что подалгебра, порождаемая элементом Х[, инвариантна и абелева, и поэтому содержащая ее алгебра Ли не является полу-простой. Итак, при г = 2 мы не получаем полупростых алгебр Ли. Примером группы Ли преобразований, соответствующей алгебре Ли, у которой
[Xlt Х2\ = 0,
служит группа
х' = х-\-а, у'=у-)-6.
Она является прямым произведением однопараметрических групп и в соответствии с § 6 настоящей главы ее всегда можно представить в виде группы трансляций в двумерном пространстве. Ясно, что для /¦-мерной алгебры Ли, у которой
[Хц Х}] = О
при всех I и у, группа Ли (локально) изоморфна г-мерной группе трансляций. Группой преобразований, у которой алгебра Ли удовлетворяет соотношению коммутации
является группа В этом случае
Трансляции х' = х-\-Ь, которые порождаются оператором Хъ образуют абелеву инвариантную подгруппу.
*1 =
[Хь Х2] = Хи х' = ах -(- Ь.
д v д ~дх ’ 3 — х ~ ¦
дх
Задача. Проинтегрируйте уравнения (8.47а) для последнего из рассмотренных случаев и получите снова конечные преобразования группы.
Наш элементарный подход чрезвычайно осложняется уже при т = 3, потому что уравнение (8.58) приводит к трем квадратичным соотношениям, которым должны удовлетворять структурные константы. Но этим простым методом можно еще пользоваться. В уравнении (8.71а) положим о = [х и просуммируем по [х:
С = Vcv>. = aPAicvi = a(Av (8-72)
величины CyK преобразуются так же, как вектор при изменении базиса. Матрица apv — произвольная неособенная матрица, поэтому мы всегда можем преобразовать вектор так, чтобы одна его компонента была равна единице, а остальные — нулю. Единственным случаем, когда такое преобразование невозможно, является случай,
§ 9. Структура алгебр Ли
359
когда векгор равен нулю. Итак, мы всегда можем выбрать базис так, чтобы либо а) с^=1, с^ = 0, 1, либо б) с^ = 0 при
всех V.
Подставив эги значения констант в (8.71а), мы найдем, что для случая «а» квадратные уравнения сводятся к линейным, причем с2з= сзі = с2і = 0- Учитывая эти результаты, мы из уравнений = О при v=2 и 3 получим, что с23 = с22 = 0. Таким образом, Х3 коммутирует с Х1 и Х2 и порождает абелеву инвариантную подгруппу; отсюда следует, что в этом случае группа Ли не является полу-простой. Мы получаем две возможные структуры:
[Xх, Х2] = [Х2. Х3\ = [Х3, Хх\ = 0, (8.73)
[X,. Х2] = Xlt [Х2, Х3] = [Х3, X,] = 0. (8.74)
Для случая «б» уравнения (8.71а) вырождаются в тождества. Производя остальные вещественные линейные преобразования, найдем, помимо структур, уже полученных нами раньше, структуры только двух независимых между собой типов:
[Х{, Х2] = Х3, [Х2, X3] = Xlt [Х3, А'1] = Л'2, (8.75)
[XltX2\=X3, [X2,X3\ = -XU [*3. *,]=*-*2- (8.76)
Обе алгебры простые.
Задачи. 1. Доведите до конца намеченный выше вывод и покажите, что при г ~ 3 существуют только четыре независимые структуры для вещественной алгебры Ли.
2. Покажите, что вещественная алгебра Ли
[*„ X,} = \х2, Х3\ = - Хи [Х3, Xt] = Х2 (8.76а)
