Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 107

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 180 >> Следующая

(5и+ ^и) X*.
т. е. сумме инфинитезимальных операторов, соответствующих 5(т) и Т (т). Коммутатор операторов 5(т) и Т (т) есть оператор преобразования
S-1 (т) Т~1 (т) 5 (т) Т (т),
354
Глава 8. Непрерывные группы
который допускает разложение в ряд Тейлора
(1 — тsKX^-\- . ..)(1 — тtKXK-\- . . .)(1 -)- . . .) X
X (1 + itvXv -)- . ..)=1+т2[^и, txXx\+ (8.65)
таким образом, инфинитезимальный оператор коммутатора преобразований 5 (т) и Т (т) является коммутатором инфинитезимальных операторов, соответствующих S(t) и 7’(т). [Из разложения (8.65) мы видим, что в дифференциальном уравнении для коммутатора следует использовать переменную т2.] Если операторы S (т) и Т(х) коммутируют, то их коммутатор обращается в тождественный оператор, а для соответствующих инфинитезимальных операторов выполняется соотношение
Эти результаты позволяют описывать различные свойства группы Ли с помощью инфинитезимальных операторов. Если группа G абелева, так что все ее элементы коммутируют друг с другом, то
XJ = О (х, к = 1........г),
или же, если воспользоваться структурными константами,
<& = 0 (х, к, р=1.......г). (8.66)
Если Н — р-параметрическая подгруппа группы О, мы можем
выбрать р инфинитезимальных операторов, соответствующих элементам подгруппы Н. Тогда г— р остальных инфинитезимальных операторов будут отвечать элементам, входящим в G — Н Так как Н есть группа, то коммутаторы инфинитезимальных операторов
Хг......Xр должны выражаться только через операторы Хг.........Xр,
так что
cxi — ° (и. ^=1......Р> Р=Р+1..............г). (8.67)
Если подгруппа Н инвариантна и 5 — произвольный элемент, принадлежащий Н, то элемент 1 lST также принадлежит Н для любого
элемента Т всей группы G. Но тогда подгруппе Н принадлежит и элемент S~I7'-IS7\ Из разложения (8.65) мы видим, что коммутатор [s^XK, txXx\ должен выражаться в виде линейной комбинации инфинитезимальных операторов одной лишь подгруппы Н. Таким образом, для инвариантной подгруппы
с?\ = 0 (x=1........... р=/,+ 1...........г)- (8-68)
Если группа G является прямым произведением Н и G — Н, то
си\ = 0 для X=1..........Р> Р=/,-И..............т
и для ц = р-1-1, ..., г; р=1, р. (8.68а
§ 8. Алгебры Jlu
355
Группа G будет простой (не будет иметь собственных инвариантных подгрупп), если условию (8.68) нельзя удовлетворить ни при каком выборе базиса Хр. Точно так же группа G будет полупростой (не будет иметь абелевых инвариантных подгрупп), если равенствам
с^==° (и, А,. р=1.......р) (8.686)
и равенствам (8.68) нельзя удовлетворить ни при каком выборе базиса Хр.
Структура абстрактной группы Ли полностью содержится в соотношении (8.23), задающем закон композиции вещественных параметров at и bj сомножителей, по которому находят вещественные параметры сг произведения. При реализации абстрактной группы Ли в виде группы преобразований переменные х, могли бы быть вещественными или комплексными, в силу этого инфинитезимальные операторы также могли бы быть комплексными. Но любые соотношения, коюрые описывают структуру группы, должны содержать лишь вещеегоенные коэффициенты. Поэтому и структурные кон:танты с должны быть вещественными числами.
Мы нашли, что для г-параметр и ческой группы преобразований существует т линейно независимых инфинитезимальных операторов Хр. Из этих операторов можно составить линейные комбинации и получить г-мерное векторное пространство. Если мы рассматриваем задачи, связанные со структурой группы Ли, нам следует выбирать только линейные комбинации с вещественными коэффициентами. Мы должны рассматривать, таким образом, вещественное векторное просіранство величин 2 ар^р- где ар — вещественные
р
числа. Соотношение (8.55) задает в этом пространстве «произведение», так как структурные константы вещественны. Если теперь отвлечься от конкретной реализации группы Ли, то станет ясно, что /¦-параметрической группе Ли отвечает вещественное /--мерное векторное пространство величин 2 ар^р- замкнутое относительно умно-
р
жения, определяемого с помощью соотношений (8.55) — (8.57). Это и есть алгебра Ли группы Ли.
Вещественная алгебра Ли состоит из величин А, В..........из кото-
рых можно образовать линейные комбинации аА-\-ЬВ с вещественными коэффициентами. Произведение элементов А и В равно [А, В\ и содержится в том же вещественном векторном пространстве. Произведение удовлетворяет соотношениям (8.56)— (8.57):
[А, В] = - [В. А], (8.56а)
[А, [В, С\ ] -(- [В, [С, А\\ = [С, [А, В] 1 = 0.
(8.37а)
356
Глава 8. Непрерывные группы
Все элементы А можно выразить через систему г базисных векторов Хр:
А = %арХ р. (8.69)
р
Если мы составим линейные комбинации величин А и В с комплексными коэффициентами и определим произведение [А-{ іЗ, С\ так, чтобы оно было равно [A, C\-\-i[B, С], мы получим комплексное расширение вещественной алгебры Ли. Комплексное расширение может оказаться удобным в работе, однако утверждения относительно структуры группы Ли следует делать исключительно на основе вещественной алгебры Ли.
Можно также сформулировать и обратную задачу. Дана вещественная алгебра Ли с заданными структурными константами [удовлетворяющими условиям (8.59)]; построить группу Ли, которая бы имела данную алгебру своей алгеброй Ли. Если сформулировать ее в терминах преобразований, то эта задача сводится к тому, чтобы найти путем интегрирования конечные преобразования, исходя из наперед заданных соотношений коммутации для инфинитезимальных операторов. Мы сформулируем результат без доказательства. Всякой алгебре Ли соответствует некоторая группа Ли; структурными константами группа Ли определяется лишь локально (т. е. в окрестности единичного элемента).
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed