Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы покажем, что свойство, обнаруженное на этих конкретных примерах, является общим: коммутаторы инфинитезимальных операторов линейно выражаются через инфинитезимальные операторы. В (8.38) мы начали с того, что потребовали, чтобы преобразования / образовывали группу с г существенными параметрами. Это означает, что ulk в (8.39) линейно независимы. Затем, воспользовавшись законом композиции параметров [соотношение (8.41)], мы получили формулы (8.44), которые выпишем здесь еще раз, причем вместо х' будем использовать переменные х:
Здесь мы ввели соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Уравнение (8.47) описывает движение точки х из ее начального положения х (0) (когда д = 0). Если же из уравнений (8,47) требуется получить уравнения (8.37), задающие преобразования с произвольными начальными условиями, то должны выполняться следующие соотношения:
0 — I — л "
В= —С 0 | , где |, т], С — константы.
- л —I 0.
Инфинитезимальные вращения имеют вид
dx=\)l — ZT], dy= — xl-\-z\, dz = x ті —уІ,
а инфинитезимальными операторами служат
[*,. Х2\ = Х3. [Х2, Х3] = Хг. [Х3. *,] = х2.
§ 7. Структурные константы
^ = «іч(*)Фл(в)
(1=1, .. ¦, п),
(м. A.= l......г).
(8.47)
д2хі д2хі
дак да^ да^дак '
(8.48)
§ 7. Структурные константы
351
или
~да^ 1ийАчЛ да^ Iй* A*J = 0>
Г <5Фчц <ЭДих1 . . диы диы ,о,0ч
а‘*[дах да^ J + дах ^ да^ ' (8.48а)
Величины иы представляют собой функции от х, а через переменные х они зависят от а. Поэтому
диы диы дх, диы
дах — dxj дах~ дх; И/Ах> (8-49)
где при выполнении последнего преобразования мы воспользовались формулой (8.47). Подставляя (8.49) в (8.48а), имеем
Г дфи(1 д^кх ] Г диы диы 1
и‘*[ дах да^ J + [и^ dxj ИУ* J ФиіАл — (8.50)
Из (8.42а) следует, что = откуда
диіх диі0 Г дхрхц
и1° dXj “a dxj ~ [ дах ' йац J И Аои/и — Сха (а) иы (*)> (8‘51)
где
—(8.52)
Если соотношение (8.51) продифференцировать по ар и применить
к нему оператор (dxjda^(djdx^), который действует только на переменные х, мы получим
дс*
-^Чч=0. (8.53)
•*р
Так как функции иы(х) линейно независимы, мы заключаем, что величины с?о не зависят от а и являются константами. В этом случае соотношения (8.51) и (8.52) принимают вид
диіх ди{0
~ТЇ~~и)'~дї]
<ЭФчц
и1°^~и1^ = с™ии> («-Sl Ю
дах
Эти условия вытекают из нашего требования, чтобы уравнения (8.47) были интегрируемы. Инфинитезимальные операторы, имеющие, по определению, вид
^p = ^juip~dx7' (8.46)
і
352
Глава 8. Непрерывные группы
обладают тем свойством, что их коммутаторы [Хр, Ха] = ХрХа-ХаХр удовлетворяют соотношениям
(8.54)
U‘P dxi U‘° dxi J dxj ‘
ди)я dujp "I d
Воспользовавшись формулой (8.51a), получим
(8.55)
Соотношение (8.55) означает, что все коммутаторы линейно выражаются через инфинитезимальные операторы. Коэффициенты с*д называются структурными константами группы Ли. Очевидно, что
си — — си . (8.56)
ро Ор '
Если (8.55) подставить в тождество Якоби
Повторим кратко все, что мы сделали. Отправляясь от группы преобразований (8.38), мы получили уравнения (8.47), затем соотношения (8.51а), (8.52а) и, наконец, соотношения для структурных констант (8.56) и (8.58). Ли получил замечательный результат, состоящий в том, что эту процедуру можно выполнять в обратном порядке, т. е. если мы найдем константы, удовлетворяющие условиям (8.56) и (8.58), то сможем найти функции и и ф, удовлетворяющие соотношениям (8.51а) и (8.52а), а затем сможем найти функции, которые являются интегралами уравнений (8.47) и образуют группу.
Воспользовавшись соотношением (8.46), можно записать уравнение (8.47) в следующем виде:
Любое преобразование группы можно получить, если "изменять параметры ах вдоль некоторой прямой
[[*р, Ха]. Хх\ + \\Ха, Хх\, Хр] + [[Хх, Хр], Ха] = 0, (8.57)
мы найдем
(8.58)
§ 8. Алгебры Ли
= Ф>л (д) *>А> Чи (0) — Кх-
(8.47а)
— Sjt (Я. — 1 ( ...» г)»
(8.59)
§ 8. Алгебры Jlu
353
где sx — вещественный вектор. При т = 0 мы получаем тождественное преобразование. Разные значения т задают различные операторы преобразования 5 (т):
jc,(t) = S(t)jc,(0). 5(0) = 1. (8.60)
Подставляя выражения для ах и X/ в (8.47а), получаем
или
X, (0) = 5,4^ (5РТ) (т) X, (0), (8.61а)
откуда следует, что оператор преобразования 5 (т) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(8-616)
При т=0
Щ = Л (8.62)
“т ІТ-0
таким образом, разложение в ряд Тейлора оператора 5(т) имеет вид 5 (т) = 1 ..., (8.63)
т. е.
¦К/00 = 0+¦«***+ ...).*, (0). (8.63а)
Из уравнения (8.616) мы видим, что инфинитезимальный оператор sxXn однозначно определяет операторы преобразования 5(т), в то время как уравнение (8.63) показывает, что оператор 5 (т) однозначно определяет инфинитезимальный оператор snX^.
Если теперь мы рассмотрим второй вектор tx, задающий инфини-тезима/тьный оператор txXK, то соответствующие операторы преобразования Т (т) будут удовлетворять уравнениям, аналогичным уравнениям (8.61) — (8.63). Произведение S(t)T(t) можно разложить в ряд Тейлора
(1 + Т5и*и+ ...)(1 + Т*х7х+ ...) =
= 1 + т(*х-И„)*х+ ... . (8.64)
Отсюда следует, что произведение S(t)T(t) соответствует инфини-тезимальному оператору
