Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
R (^i) R (^2)= R (^i Н- ^>)>
-і (8.37)
[Я (01 1 = Я(-0.
Аналогичным образом разложим теперь наши функции в общем случае:
x't = ft(x ......ai........аг) (/=1, .... «), (8.38)
x'i + dxi=fi{x[........хп> Ьа\.......Ьаг)> (8.38а)
, , VI Г .ХП> й\.аг)1 , V / /Q от
dxt = 2j, --дГь------------------ =0баА = 2^м/а(^Ж. (8.39)
A—I U A-I
al-\-dal = (pl(al......а/, 6 а,.............6аг), (8.40)
^О/ = [ ~f {ay--- LJbm - '—Г) ]t=QЬат = ^ (Д)(8-41)
m — 1 m«=l
при а = 0, ©Im(0) = 6Im. Выразив величины 6а через da из соотношения (8.41), получим
Г
Ьйь = 2 Фаі (а) (8.42)
1-і
где матрицы Т и 0 удовлетворяют условиям
?0=1. ф«(0) = б„. (8.42а)
Подставляя полученное выражение для 6аА в (8.39), найдем
Т
dx\~ 2 ^А(^')ФАі(а)^аІ. (8-43)
А, 1-1
ИЛИ
-!&=2“/А(*')ФАг(д). (8-44)
А-1
Переменные л' в (8.44) можно рассматривать как функции пара-
метра а. Координаты х служат начальными значениями координат х' при а = 0.
Если изменяется только один из параметров (остальные равны нулю), возникает некоторая однопараметрическая подгруппа и какое-то инфинитезимальное преобразование. Любое инфинитезимальное преобразование представляет собой линейную комбинацию г линейно независимых инфинитезимальных преобразований. Если мы рассмотрим
§ 6. Однопараметрические группы
347
изменение функции F(x) при инфинитезимальном преобразовании (8.38), то обнаружим:
/-1 1 1-І г ! п \ г
=2бв* ж г=2ад/7- (8-45)
J-l 'w-l / ы\
Операторы
*р=2М*)^7 (846)
дхі 1-і
называются инфинитезималъными операторами группы. Операторы
1 2 р
мало отличаются от тождественного оператора. Если в качестве функции F выбрать одну из переменных xt, то
х\ = I"1 + 2 йврі х‘ = */ + 2 И/р(*) йвр.
L р J р
так что мы снова возвращаемся к (8.39).
Заметим, что если пренебречь членами более высокого порядка относительно бесконечно малых величин б а, то инфинитезимальные преобразования будут коммутировать друг с другом. В самом деле, результат последовательного выполнения двух инфинитезимальных преобразований просто совпадает с суммой этих двух преобразований (если мы пренебрежем членами более высокого порядка).
В качестве примера рассмотрим группу
х' = ах-\- Ь.
Параметры единичного элемента равны: а= 1, Ь = 0. Инфинитезимальные преобразования имеют вид:
х' = (1 -f- ba) лг-f- bb = лг-f х • Ьа-{-6Ь;
dx = х • 6а-\-6Ь.
Таким образом, инфинитезимальными операторами группы служат операторы
v д v д Х' — х~д7 и *2 — дх -
Заметим, что коммутатор
[Хх, x2] = xlx2-x2xl = —jL = -x3
348
Глава 8. Непрерывные группы
не приводит к новому оператору, а является лишь одним из инфи-ннтезимальных преобразований іруппы.
В качестве другого примера рассмотрим группу
х' = ах, у' —by.
У единичного элемента а = Ь-—\. Инфинитезимальные преобразования имеют вид:
х' = (1 —|— ба) х = х~\- х • Ь а,
/ = (1-1-60) у = у+у-ЬЬ,
вследствие чего инфинитезимальными операторами группы служат операторы
v д „ д
Х1~хдх’ 2 ^ ~ду" *
И в этом случае мы замечаем, что коммутатор [Xlt Х2] не дает ничего нового, так как
[Хи Х2] = 0.
В случае однопараметрической группы
х' = ах,
, 1
У =-У-
Единичный элемент имеет параметр а= 1; инфинитезимальное преобразование имеет вид
х' = (1 -|- б а) х = х-\- х ¦ Ьа,
у' = (1 -|-б а)-1 у = (1 —б а) у = у — у ¦ Ьа,
а инфинитезимальным оператором служит оператор
v д д X = Х-Т- —у -5— .
дх ' ду
Рассмотрим, далее, двумерную линейную группу
х' = ах-\-Ьу, у' = cx-\-dy.
Параметры единичного элемента принимают значения a = d= 1 и Ь=с = 0. Инфинитезимальные преобразования записываются в виде
х' = (1 -|- Ьа) х -|- ЬЬу = хх ¦ Ьа-\- у ¦ ЬЬ, у' =.Ьсх-{-(\ -(-бсО у = у-|- х • бс —|— у • bd.
§ 6. Однопараметрические группы
349
Четырьмя инфинитезимальнымп операторами группы служат операторы:
v д v д v д v д
Х' = х1Ш' х* = У-5ї- Х* = х^> x* = yw
Если составить коммутаторы инфинитезимальных операторов, то окажется:
[Xlt Х2]= — Х2, [^i. Х3] = Х3, [Xi, ^Y4] = 0,
[Х2, Х3]’=Хц Xj, [Х2, Х4] '=¦ Х2, [Х3, Х4]^Х3.
Мы видим, что все коммутаторы можно представить в виде линейных комбинаций самих инфинитезимальных операторов.
Для двумерной группы вращений
х' = X COS ф — у sin ф, у' = X sin ф —|— у COS ф
мы получаем инфинитезимальные преобразования, разлагая синусы л косинусы по ф вблизи ф= 0:
х' = X — у • бф, у' = *6ф+у.
Инфинитезимальным оператором является оператор
д д иу~ у ~дх ’
т. е. оператор момента количества движения.
Ортогональные преобразования можно охарактеризовать как преобразования, у которых матрица А, транспонированная по отношению к матрице А преобразования, совпадает с обратной матрицей
АА = 1.
Собственные вращения имеют определитель, равный единице, вследствие чего матрица инфинитезимальных вращений имеет вид
Л=1 + Д,
где 1 означает единичную матрицу, а все элементы матрицы В находятся в окрестности нуля. Условие ортогональности требует, чтобы
1 = АА = (1 + Я)(1 -(-Л) я» 1+5-1- В,
или
? + І? = 0.
350
Глава 8. Непрерывные группы
Отсюда матрица В должна быть кососимметрической матрицей стремя независимыми компонентами:
— компоненты оператора момента количества движения по трем координатным осям. Коммутаторы этих инфинитезимальных операторов приводят к хорошо известным соотношениям
