Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Часто встречаются группы, в которых, чтобы однозначно задать все элементы, кроме непрерывных параметров, требуется еще и дискретный параметр. Такие группы называются смешанными непрерывными группами. Например, группа G
х' — ± х-\-а
(ранее мы рассматривали ее для случая, когда коэффициент а принимал целочисленные значения) является смешанной непрерывной группой с одним непрерывным параметром, если а изменяется непрерывно от —со до -|-со. Групповое многообразие состоит из двух несвязных частей. Преобразования х' =х-\-а образуют подгруппу Н, любое преобразование которой можно получить непрерывным изменением параметра а от 0 (тождественное преобразование) до его конечного значения. Получить преобразования х' = — х-\-а из тождественного преобразования путем непрерывного изменения параметра нельзя. Эти преобразования составляют ту часть преобразований группы G, которые не входят в подгруппу Н и получаются, если взять произведение подгруппы и инверсии I: х' = — х. Итак,
G = H+ Hi-
fi есть инвариантная подгруппа группы G, порядок факторгруппы равен двум.
Точно так же ортогональная группа состоит из двух частей, а именно из преобразований с определителем Д = 1 и преобразований с определителем Д = —1. Совокупность первых преобразований образует подгруппу 0+(п) ортогональной группы (собственные вращения). Эти преобразования можно получить, двигаясь по непрерывной траектории из единичного элемента. Эта подгруппа инвариантна относительно полной группы вращений. Обращаем внимание на то, что в случае непрерывных групп не существует способа объединения различных их частей в единое целое так, чтобы все элементы можно было задавать, пользуясь лишь одним непрерывным параметром. В континууме нет дыр, В которые МЫ МОГЛИ бы поместить ДОПО^НЧ' тыльные элементы,
344
Г лава 8. Непрерывные группы
§ 6. Однопараметрические группы. Инфинитезимальные преобразования
В равенстве (8.23) мы выразили параметры с произведения преобразований через параметры а и Ь сомножителей. Из этого соотношения параметры а должны выражаться через b и с, а параметры Ь должны выражаться через а к с. Для этого требуется, чтобы ни один из якобианов |<?фА/<?аг| и [<?фА/<ЭДг| не обращался в нуль. Точно так же соотношение (8.26) выражает условия, которые следует наложить на функции ft, задающие преобразования, если последние
х'
х’ + dx'
Фиг. 71.
должны образовывать группу. В том виде, как оно записано, соотношение (8.26) есть тождество по х, а и Ь. Но его также можно выразить в виде тождества по х или х' и любых двух из трех параметров а, Ь, с.
Преобразование х' = / (х\ а) переводит все точки пространства из их начального положения х в конечное положение х'. Было бы более естественно рассматривать постепенное перемещение точек пространства по мере того, как мы изменяем непрерывным образом параметры от их начальных значений а = 0. Такая точка зрения приводит к понятию инфинитезимальных преобразований. Этот метол мы продемонстрируем сначала для однопараметрической группы с одной переменной х (см. фиг. 71). Предположим, что преобразование с параметром а переводит точку х в положение х'. Соседнее значение параметра a-\-da будет переводить точки х в точки x'-\-dxr (так как / — аналитическая функция параметра а). Но мы также можем
найти значение параметра б а, очень близкое к нулю (т. е. преоб-
разование, очень близкое к тождественному), которое переводит х' в x'-\-dx'. Итак, мы имеем на выбор два пути из х в x'-\-dx': либо
х'-\- dx' = f (х\ a-\-da), (8.28)
либо
x’ = f(x\ а), х'-\-dx'= f (х', 6а). (8.29)
Разлагая в ряд последнее равенство, получаем
(8.30)
§ 6. Однопарйметрические іруппьі
345
Уравнение (8.23) означает
а-\- da =ф(а; Ьа),
(8.31)
так что
(8.34)
(8.34а)
(8.33)
(8.32)
Соотношение (8.34а) проинтегрируем от а = 0 до а. Начальное значение х' есть х. Обозначив через U (х') интеграл от \/и(х'), получим
Но, как мы уже видели в случае конечных групп, преобразование координат или введение новых переменных приводит лишь к трансформации всех элементов группы одним и тем же преобразованием. Мы показали таким образом, что однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе трансляций и должна быть абелевой. Заметим, чт»к смешанной группе этот результат не применим, поскольку последний шаг в нашем доказательстве делался в предположении, что рассматриваемый элемент группы связан с единичным элементом непрерывной траекторией. (Мы разобрали простейший случай одной переменной, но легко дать доказательство для однопараметрической группы с любым числом переменных.)
Задача. Проведите доказательство для преобразований с Двумя пере»
а
(8.35)
о
Если ввести новые переменные y = U(x) и положить
а
о
то соотношение (8.35) будет иметь вид:
y'-y = t.
(8.36)
менными.
Мы провели доказательство для однопараметрической группы преобразований. Результаты, относящиеся к структуре группы, не зависят от ее конкретной реализации. Таким образом, мы показали,
346
Глава 8. Непрерывные группы
что для однопараметрической группы Ли всегда можно ввести канонический параметр t такой, что
