Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
и j. Таким образом, параметры группы U (п) изменяются в оірани-ченных пределах и унитарная группа компактна. Следовательно, все
подгруппы унитарной группы (такие, как вещественная ортогональная группа 0(п) и унитарная унимодулярпая группа) также компактны.
13. Группа евклидовых движений в трехмерном пространстве:
з
х', = 2 ачх1 + а1 (/=1,2,3).
3
Здесь мы требуем, чтобы форма 2 — xflj2 оставалась инва-
риантной. Группа зависит от шести существенных параметров. Она представляет собой комбинацию групп вращений и трансляций в трехмерном пространстве.
14. Если группу, приведенную в примере 13, объединить с преобразованиями вида х'. = ах[ и образовать все произведения, мы получим семипараметрическую группу преобразований подобия.
15. Если объединить группу примера 13 со всеми преобразованиями обратными радиусами (см. фиг. 70), мы получим десятипараметрическую группу конформных преобразований: Р (л) —> Р' (х1), где ОР • ОР' = г2; центром сферы х0, у0, z0 может быть любая точка пространства, а радиус г сферы принимает все значения, большие нуля.
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 341
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы
Пользуясь этими примерами, мы можем рассмотреть некоторые из понятий, обсуждавшихся ранее для конечных групп. Преобразования /¦-параметрической непрерывной группы являются функциями п переменных Xj и г параметров ак. Структура такой группы не зависит от числа переменных xt, а зависит только от числа параметров ак и функций ф в формуле (8.23). Две группы могут быть изоморфными, несмотря на то что число переменных у них различно, если только число параметров и закон композиции параметров в обеих группах одинаковы. Тривиальным примером служит изоморфизм двух следующих групп:
Если же мы возьмем двумерную унимодулярную группу (три па-
то можно определить новую переменную ? = х/у, для которой
Мы получим при этом группу одномерных проективных преобразований.
, Рассмотрим теперь понятия сопряженных элементов, классов, подгрупп и инвариантных подгрупп. Группа примера 2:
— это двупараметрическая неабелева группа. Какие элементы группы сопряжены с данным элементом Ra? Чтобы ответить на этот вопрос,
х'= ах и
раметра)
х' - ах-\-Ьу, у' = cx-\-dy.
I
д! + 6 Cl + rf •
Rai х —а^ха2
МЫ фиксируем элемент Ra И образуем произведение RbRaRb \ где Rb пробегает всю группу:
Rb: x’ = b\x-\-b2, RbU- х'— т-(*—b2),
о 1
х' = -^-{х — Ь2), х" - ахх’ -|- а2 = у- {х — Ь2) -|- а2,
х'" — bix"-1- Ъ2 — Ьг j^-^- {х — Ь2) ~Ь ^2 —
—— —\— b<i—\~ йф\ — CL-^Ьj.
342
Глава 8. Ньпрерывные группы
Итак, элементом Rt,RaRb1 является преобразование
X — Cl^X —j— Ь2—I— аф\ — а^Ь 2*
Если фиксировать ах и а2 и изменять и Ь2, то коэффициент при х останется равным аи а свободный член будет принимать все возможные значения. Таким образом, преобразования х' = агх -f- а2 с фиксированным коэффициентом аг образуют класс. При каждом значении мы получаем класс сопряженных элементов. В рассматриваемой группе классы образуют множество мощности континуума.
Группа параллельных переносов х' = х-\-а2 является однопараметрической абелевой подгруппой рассмотренной выше группы. Поскольку коэффициент при х у всех переносов одинаков, подгруппа состоит из одного класса исходной группы и в силу этого инвариантна. С другой стороны, однопараметрическая абелева подгруппа х' = ахх не инвариантна.
Унимодулярная группа в случае п. измерений оказывается инвариантной подгруппой линейной группы, так как определитель произведения матриц ASA~ совпадает с определителем матрицы 5.
Двумерная унимодулярная группа содержит двухпараметрическую подгруппу
x'=*ax + by, y' = jy-
Эта подгруппа неабелева и не инвариантна. Унимодулярная группа содержит также однопараметрическую подгруппу
1
х = ах, у =—у,
которая является абелевой, но не инвариантна, и однопараметрическую группу вращений, которая также абелева, но не инвариантна.
Задача. Докажите приведенные выше утверждения о подгруппах унимодулярной группы.
Мы уже видели, что подгруппы можно получать, требуя инвариантность некоторой функции, зависящей от координат. Например, потребовав инвариантность функции х2-\-у2, мы получили из двумерной линейной группы подгруппу ортогональных преобразований. Тот же результат остается в силе и в «-мерном случае. Если мы образуем из координат двух точек плоскости х, у и |, выражение хг\ — и потребуем, чтобы это выражение оставалось инвариантным при линейных преобразованиях, мы получим
х'ц' — У%' = (ах + by) (cl + fifri) — (cx + dy) (a\ -f йт]) =
= (ad — bc)(xr] — у?) = С*т|— y|). если ad—be— 1. (8.27)
§ 5. Изоморфизм. Подгруппы. Смешанные непрерывные группы 343
Итак, выражение хг]— инвариантно при преобразованиях, удовлетворяющих условию ad— bc= 1, т. е. преобразованиях унимоду-лярной группы.
Задача. Рассмотрите четырехмерную линейную группу. Если для любых двух точек д: и ^ потребовать инвариантность билинейной формы ХіІ2 — X2ll + Хзіі — Хііз, то мы получим некоторую подгруппу линейной группы. Сколько параметров характеризует эту подгруппу? Получите общий результат для 2л-мерного случая. [Этой подгруппой является симплектическая группа 5р(2л).[
