Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Это однопараметрическая абелева группа, с — аналитическая функция от а и Ь.
2. х' = а1х-\-а2, ахФ 0:
Единичный элемент:
Ді = 1,
йп = 0.
Элемент, обратный элементу а: а, =—,
аі
Произведение элементов:
С\ — Ь-уСІ-у, С2—^2 ~I- ^1^2*
Это двупараметрическая неабелева группа.
3. Линейная группа в случае двух измерений GL(2):
х' = а^х -|- а2у, у' = а3х аАу,
сіл а0
йо йЛ
?=0.
Все четыре параметра существенны. [Докажите это, пользуясь критерием (8.18).] Если хну рассматривать как компоненты вектора г, то преобразования можно записать в матричных обозначениях:
г' = Аг,
Линейная группа в двух измерениях изоморфна группе матриц 2Х? с матричным умножением в качестве закона композиции.
V ‘<*1 &2 X
У. а3 Д4. _У„
Единичный элемент: А =
1 0
0 1 і
= 1.
Обратный элемент: А = А' Произведение элементов: С — В А,
338
Глава 8. Непрерывные группы
Линейная группа в случае двух измерений является четырехпараметрической неабелевой группой.
4. Линейная группа в случае п измерений GL(n);
х = atjXj (/ 1, • • ¦, п), | a^j j Ф О,
і
или в матричных обозначениях
г' = Ar, det А Ф 0.
Здесь оказываются применимыми результаты примера 3. Линейная группа в случае п измерений неабелева (п > 1). Число существенных параметров равно п2. Параметры могут меняться неограниченно, вследствие чего группа GL(n) не является компактной.
5. Специальная линейная группа (унимодулярная группа) в случае двух измерений SL(2):
Эту группу можно получить из примера 3, если потребовать, чтобы определитель преобразования был равен единице: а^а4—а2а3 = 1. Это ограничение приводит к одному функциональному соотношению между четырьмя параметрами. Таким образом, мы получаем трехпараметрическую группу. Групповые свойства сохраняются, поскольку преобразование с определителем, равным единице, имеет обратное преобразование с определителем, также равным единице, а произведение двух унимодулярных преобразований есть снова унимодуляр-ное преобразование.
6. Унимодулярная группа в случае п измерений SL{n):
Будем рассматривать лишь те из преобразований примера 4, у которых определитель равен единице. Число существенных параметров равно п2 — 1.
7. Группа одномерных проективных преобразований:
х> _ fli-* -f-Дг а3х -)-
Задача. Рассмотрите группу примера 7 и найдите параметры обратного элемента и произведения элементов. Сколько существенных параметров имеет эта группа?
Примеры (продолжение)
8. Двумерная ортогональная группа 0(2):
Рассмотрим только те преобразования примера 3, которые оставляют инвариантной форму х2-\-у2'.
х'2 -|- у'2 = {ахх -\- а2у)2 + (а3х а4у)2 = х2 у2,
1, а\-\-а\= 1, ^ + ^ = 0,
§ 4. Примеры групп Ли
ЗЗЭ
На четыре параметра наложено три функциональных соотношения, вследствие чего мы имеем однопараметрическую группу. Это группа вращений вокруг оси z. Преобразования группы можно записать в виде
х' = X COS ф — у sin ф у' = X sin ф -)- у COS ф
где ф—угол поворота вокруг оси z. Группа абелева; угол, соответствующий произведению двух преобразований, равен сумме углов, отвечающих каждому из сомножителей в отдельности.
9. Трехмерная ортогональная группа 0(3):
Рассмотрим только такие преобразования трехмерной линейной группы, которые оставляют инвариантной форму jc2 —)— у2 —|- z2. Это условие инвариантности накладывает на девять параметров шесть условий. Таким образом, мы получаем трехпараметрическую группу.
10. п-мерная ортогональная группа О(п):
Из всех преобразований полной линейной группы будем рассматри-
П
вать лишь те, которые оставляют инвариантной форму 2 х\- Тем
І-І
самым мы накладываем п-\-(п/2)(п—1) условий на п2 параметров, в результате чего получаем п(п—1)/2 существенных параметров.
До сих пор мы рассматривали лишь вещественные преобразования вещественных переменных. Если в примере 4 мы будем считать, что xt — комплексные переменные, a aiS — комплексные коэффициенты, то число существенных (вещественных) параметров станет равным 2га2 (поскольку вещественная и мнимая части коэффициентов atj являются независимыми параметрами).
11. Двумерная унитарная группа U (2):
xi = auxi + auxv . . х, а — комплексные числа, deM=?0.
х2 — а21хх 4- а22л:2,
Потребуем, чтобы выражение |*i |24-1*212 было инвариантно относительно преобразований группы. Тогда
I хі |2Ч- I х2\2— | а\\Х\ 4- а12Х2 |2+ | a2lXl Н- а22*2 f ~ | Х\ Р “Ь | Х’2 |2> I а\\ I2-!- | й2\ |2 “ 1 ’ | й\2 |2_Ь | Д22 |2= 1 • а\\а\2~*Г а2\а22~®'
Итак, мы имеем четыре функциональных соотношения (последнее соотношение в действительности представляет собой два соотношения) между восемью параметрами, поэтому группа зависит от четырех существенных вещественных параметров. Этот результат представляет собой просто подробно записанное условие унитарности матрицы АА+ = 1.
340
Г лава 8 Непрерывные группы
12. п-мерная унитарная группа U (п)\ r' = Ar, AAf=l.
Условие унитарности налагает п-\-2п(п—1)/2 условий на 2п2 вещественных параметров, в результате чего остается п2 вещественных существенных параметров. Так как условия унитарности требуют,
чтобы 2la//l2—l> мы ВИДИМ. что | аи I2 < 1 при всех значениях I і
