Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Нас будут интересовать в основном группы преобразований, и мы все наши результаты запишем еще раз специально для этого случая. Здесь г-параметрическая группа Ли преобразований — это группа преобразований
x'i = fi{xі- хп; й\...........аг) (/ = 1.....п), (8.15)
или в векторных обозначениях
х' = f(x; а), (8.15 а)
где функции ft являются аналитическими функциями параметров а, Предполагается, что г вещественных параметров aj существенны. Если эти параметры не являются существенными, то, как было показано ранее, в окрестности любого набора значений аь .... аг этих параметров можно найти другие наборы параметров, задающих то же самое преобразование. Иначе говоря, если параметры несущественны, то найдутся такие значения параметров а,-{-єІ, аг-{-єг> где єА
означают произвольно малые величины, зависящие от ах.............аг, что
fi(x; a) = fl(x, а + є) (8.16)
при всех значениях х. Разлагая по малым функциям ек, получаем
Г
О = У Ек (а) —— — а— -f- Члены более высокого порядка по єА
*-і * (8.17)
(*= 1.......я).
Если функции устремить к нулю, их отношения в пределе будут стремиться к некоторому набору функций от а, поэтому мы можем записать [поскольку члены более высокого порядка в (8.17) обратятся в нуль], что
I
V хк (а) — = о При всех х и а (/== 1...............П), (8.18)
S-1
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли
335
где Хл(а) — совокупность г функций от а. Параметры ах, ..., аг существенны тогда и только тогда, когда нельзя найти г функций Х*(я). которые удовлетворяли бы равенству (8.18) при всех значениях г, х и а.
Преобразования должны удовлетворять всем аксиомам группы. Так, если задано некоторое преобразование, отвечающее совокупи ности параметров а [формула (8.15а)], мы можем найти совокупность параметров а такую, что
Это означает, что уравнения (8.15) можно разрешить относительно переменных х., выразив последние через х'г Условие разрешимости состоит в том, что якобиан должен быть отличен от нуля:
Если последовательно выполняются два преобразования из мно жества
то мы требуем, чтобы результирующее преобразование также было элементом множества. Иначе говоря, должен существовать такой набор значений параметров сь .... сп что
Мы предполагаем, что функции аналитические и функции а в равенстве (8.19) аналитические функции от а. Кроме того, должен существовать набор значений параметров а0, соответствующий тождественному преобразованию
В общих рассуждениях мы будем полагать ап равным нулю,
x" = f(x'\ а) = /(/(*; а); а) — х.
(8.19)
dfі df,
дхх ' ' ' дхп
?=0.
(8.20)
df„ ш dfn дхі ' ' ' дхп
(8.21)
x'i=fi(xv .....cr).
(8.22)
Параметры с должны быть функциями параметров а и Ь: сА = фА(аі, ..., а/, bi, ..., br).
(8.23)
х' = f(x\ а0) - х.
(8.24)
336
Г лава 8 Непрерывные группы
Аксиомы группы налагают сильные ограничения на функции ft. Записав подробно все утверждения, содержащиеся в соотношениях (8.21)—(8.23), получим
x"i = fi(¦*'¦' *) =/г СЛ (*'. я). •••> /„(*; я); ь) =
= fi С*; с) = /, (х; ф (а; 6)); (8.25)
следовательно, в сокращенных обозначениях запись
/(/(*; a); b) = f{x; ф(а; 6)) (8.26)
означает тождество относительно х, а и Ь.
Соотношение (8.15) можно рассматривать с другой точки зрения, что позволит понять различие между конечными и бесконечными непрерывными группами. Взяв соотношения (8.15), мы можем продифференцировать функции х' по х и получить систему уравнений, из которой можно исключить конечный набор параметров а. После этого мы получим конечную систему дифференциальных уравнений с частными производными относительно х', которая не будет уже содержать никаких произвольных элементов. Кроме того, общее решение этой системы дифференциальных уравнений с частными производными будет зависеть в точности от г произвольных постоянных, т. е. мы снова возвращаемся к (8.15). Рассмотрим, например, непрерывную группу
п
x'i='2iiaijXj-{-al (/= 1............я).
Так как эти преобразования линейны, все вторые производные функций xi обращаются в нуль, так что наша система дифференциальных уравнений с частными производными имеет вид
д2х',
v-J-k='...........“>
и не содержит произвольных элементов. Если решения конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными, не содержащих произвольных элементов, зависят от конечного числа параметров и образуют группу, мы скажем, что эта группа есть конечная непрерывная группа. Случай, когда указанные условия не выполняются и мы получаем бесконечную непрерывную группу, состоит в следующем. Наши дифференциальные уравнения имеют вид
дх.
~дх^ ~ О (і =? А = 1..........я).
уїх решения записываются в виде
*\= F i{Xi)
§ 4. Примеры групп Ли
337
Очевидно, что эти решения образуют группу, но функции Ft произвольны, в силу чего мы не можем задавать преобразования с помощью конечного числа параметров.
§ 4. Примеры групп Ли
Прежде чем продолжить наше рассмотрение, остановимся на нескольких примерах непрерывных групп.
Примеры
1. х' = ах, а ф 0:
Единичны!} элемент: а= 1.
Элемент, обратный элементу а: а = .
Произведение элементов: с = Ьа.
