Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
х' = ± х + «.
Элементы этой новой группы можно по-прежнему нумеровать целыми положительными числами, если в процессе нумерации ставить после каждого преобразования х' = х -)-л преобразование х' = —х + «. Можно сказать, что дискретное множество содержит столько дырок, что всегда есть место, куда можно добавить один, два или даже счетное множество элементов, и тем не менее множество останется счетным. Мы увидим, что в этом отношении непрерывные группы сильно отличаются от бесконечных дискретных групп.
332
Глава 8. Непрерывные группы
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли
Говорят, что группа непрерывна, если на элементы группового многообразия наложено какое-либо обобщенное определение „близости", или непрерывности. Мы требуем, чтобы „малое изменение0 одного из сомножителей в произведении приводило к малому изменению произведения. В своем наиболее общем виде, в обсуждение которого мы не будем вдаваться, это требование приводит к определению топологической группы, т. е. группы, групповое многообразие которой образует топологическое пространство. Мы ограничимся более простым случаем, когда элементы группового многообразия можно задавать либо с помощью конечного числа непрерывно изменяющихся параметров, либо с помощью некоторого набора функций. Например, совокупность преобразований
х' = ах-\-Ь (8.8)
образует группу. Два параметра а и Ь изменяются непрерывно от
— оо до оо. Мы говорим, что такая группа является двупараметрической непрерывной группой. В общем случае элементы г-пара-метрической непрерывной группы задаются с помощью г непрерывно изменяющихся вещественных параметров ах............аг, так что
элементы такой группы можно представить с виде R(a.\.....ar)=R{a).
Группы, элементы которых можно задавать с помощью конечного числа непрерывно изменяющихся параметров, называются конечными непрерывными группами. Пределы, в которых изменяются параметры, заранее не указываются. Параметры могут изменяться от —со до -{-оо или же быть ограниченными некоторой конечной областью. Если область изменения параметров конечна, то групповое многообразие называют компактным.
Для /--параметрической группы непрерывность выражается через расстояния в пространстве параметров. Два элемента группы R{a) и R{a') расположены „близко" друг от друга, если расстояние
мало. Если элементы группы заданы с помощью набора функций из некоторого функционального пространства, то „близость" групповых элементов выражается с помощью расстояния в этом функциональном пространстве (см. § 1 и 12 гл. 3).
Условия того, что элементы R(a) образуют непрерывную группу, такие же, как и в случае конечных групп. Во-первых, должна существовать такая совокупность значений параметров а0, что
R (а°) R(a) = R (a) R (а°) = R (а)
(8.9)
§ 3. Непрерывные группы. Группы Ли
333
для всех а. Элемент R(a°) является единичным элементом группы. В общем случае мы будем в своих рассуждениях для удобства полагать а° = 0. Далее, для любого значения а мы можем найти некоторое значение а, такое, что
R (a) R(a) = R (a) R(a) = R (0). (8.10)
В таком случае элемент R (а) есть элемент, обратный элементу R(a):
R(a)= [/? (в) I"1. (8.11)
Произведение двух элементов рассматриваемого множества должно также принадлежать этому множеству. Если значения параметров а и b заданы, мы можем найти совокупность значений параметров с, такую, что
R(c) = R(b)R(a). (8.12)
Параметры с являются вещественными функциями вещественных параметров а и Ь:
cb = q>k(ax.....аГ; bx........br), ft = 1.........г, (8.13)
или в общем виде
с = ф(а; Ь). (8.13а)
До сих пор условия, налагаемые на некоторое множество для того, чтобы оно было группой, были такими же, как и для конечных или счетных групп, но теперь мы дополнительно потребуем, чтобы параметры произведения были аналитическими функциями параметров сомножителей, т. е. функция в равенстве (8.13а) должна иметь производные всех порядков по каждому из своих аргументов. Точно так же мы потребуем, чтобы параметр а в формуле (8.10) был аналитической функцией параметра а. В результате мы получим г-пара-метрическую группу Ли.
Если мы говорим, что у нас имеется г-параметрическая группа, мы подразумеваем под этим, что все г параметров существенны. Это означает, что нельзя найти такой набор непрерывных параметров
dj......ат, удовлетворяющий условию т < г, который оказался бы
достаточным для однозначного задания элементов группы. Если бы задание /¦-параметрической группы с помощью т элементов было возможным, это означало бы, что некоторый набор численных значений параметров dj........ ат однозначно определяет какой-то эле-
мент группы, так что г параметров ..., ап которые задают тот же элемент группы, должны быть связаны с параметрами а соотношениями вида
аі = ші (аі.........а,)..........ат — к>т(ах............а,), (8.14)
334
Г лава 8 Непрерывные грі/пйьі
где величины ш означают некоторые функции от а. Дія любого заданного набора значений а любое решение уравнений (8.14) позволяет получить совокупность величин а, которые задают тот же элемент группы. Таким образом, если параметры несущественны, мы имеем бесконечно много непрерывно изменяющихся значений параметров й\, ..ап которые соответствуют одному и тому же элементу группы. В качестве тривиального примера рассмотрим преобразования х' = х-\- а-\-Ь. Два параметра а и і не являются существенными, так как мы можем найти один параметр с, который, изменяясь непрерывным образом, задает все преобразования этой группы. Так, при заданном значении с любые значения а и Ь, удовлетворяющие равенству а -\-Ь = с, приводят к одному и тому же преобразованию. Следовательно, в действительности эта группа однопараметрическая.
