Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 9

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 118 >> Следующая

По причинам, которые станут более ясными позднее, связь (2.8) удобно
переписать в другом, несколько более формальном виде. Л именно,
непосредственно видно, что (2.8) можно получить также из
Это позволяет, далее, ввести связь между Я и L, которую в данном случае
можно сразу проверить прямой подстановкой соотношений (2.8) и (2.4):
Исходное уравнение движения (2.1) можно представить с помощью функции
Гамильтона в виде так называемых уравнений Гамильтона. Для этого мы
запишем два уравнения, а именно,
импульса р под действием силы K(q), которую заменим ее выражением через
потенциал (2.2). Тогда вместо (2.1) мы выпишем два уравнения:
Правые части этих уравнений с помощью производных функции Гамильтона по р
и q можно представить в весьма симметричном
| Я = Г + 7(g).
(2.7)
р - mq.
(2.8)
(2.10)
| Н - pq - L.
(2.11)
одно для q, согласно (2.8), и второе для временного изменения
(2.12)-
(2.13)
§2]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
19
виде
' _ дН_ ( _8Т_ , dV_ = дТ \ У др \ др др др )*
ан ат av av
(2.14)
dq \ dq 8q dq )'
Читателю должно быть, естественно, совершенно ясно, что эти новые
формулировки физически полностью эквивалентны первоначальной формулировке
с помощью уравнения движения Ньютона (2.1). Хотя эти формулировки тому
или иному читателю могут показаться непривычными и на первый взгляд даже
сложными, они являются, как мы вскоре увидим, исходным пунктом для
квантования полей. В действительности при этом необходимо рассмотреть не
одну частицу, а целый набор частиц. Ради простоты мы рассмотрим далее
вновь одномерное движение, однако все рассмотрение можно перенести и на
случай трехмерного движения. Уравнения движения Ньютона для частиц,
которые мы будем различать индексом /, принимают вид
над, = Kj(qu qN). (2.15)
В последующем изложении для набора координат мы будем использовать
сокращенное обозначение
(?ь •••, ?w) = (q) = (2.16)
так что (2.15) перепишется в виде
тп&} = Х3({д>). (2.17)
Далее, предположим вновь, что существует потенциал, из которого все силы
получаются просто дифференцированием:
1Г, = -(2.18)
Определим, как обычно, кинетическую энергию в виде
N
5=1
так что функция Лагранжа имеет вид
| L = T - V (2.20)
и соответствующие уравнения Лагранжа d 8L 8L
dt я' dqj
= 0. (2.21)
dqs -
Подставляя (2.20) в (2.21) совместно с определениями (2.18) и
2*
20 ВСТУПЛЕНИЕ {ГЛ. I
(2.19), тотчас же убеждаемся, что из (2.21) можно непосредственно вновь
прийти к (2.15). Импульсы
Pi = mjgj (2.22)
формально можно вновь получить из
Pj-=~. (2.23)
dqj
Связь между функциями Гамильтона и Лагранжа сразу получается как
обобщение (2.11):
Н = 'SipJqJ - L. (2.24)
э
Если сюда подставить (2.22) и определение (2.20), то выражение для Н
принимает вид
= + <2-25>
который мы будем в дальнейшем чаще всего использовать в качестве
исходного пункта теории. Аналогично и уравнения Гамильтона сразу можно
обобщить на случай многих частиц. Для этого выразим формально уравнения
9,=% (2-26)
и
<2-27>
следующим образом через функцию Гамильтона:
дН ' дН 00.
9} = ^ PJ=~TgУ <2'28>
Если исключить из уравнений (2.26) и (2.27) р}, продифференцировать
первое уравнение по времени, а во втором уравнении выразить р через <?,
то мы вновь возвращаемся к уравнению (2.15), причем сила определяется
выражением (2.18).
Задания к § 2
. гг дТ А dV л av А0
1. Почему -т- = 0, -г = 0, -- = 0?
di dq дР
2. Для упругой силы K(q) - - jq (/ - константа упругой связи). Каков
явный вид функций Гамильтона и Лагранжа (2.4),
(2.7) и уравнений движения (2.14)?
Глава II. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
§ 3. Квантовомеханический осциллятор: операторы рождения и уничтожения
Теперь мы займемся исследованием движения частицы с массой т, упруго
связанной относительно положения равновесия. В качестве координаты q
частицы выбираем отклонение из положения равновесия (рис. 10, 11), а
соответствующий импульс
Положение равновесия а)
Ряс. 10. Гармонический осциллятор: а) пример из механики; б)
потенциальная энергия как функция отклонения.
Рис. И. Пример применения гармонического осциллятора. В покоящейся
атомной решетке отсутствует один тяжелый атом, который заменен легким
(черный кружок), а) Расположение атомов, б) Реальный потенциал
приближенно описывается параболой. Низколежащие колебательные состояния
практически "не замечают" отклонений от точного хода кривой потенциальной
энергии; q - координата легкого атома.
обозначим р. Константу упругой связи / мы исключаем при помощи известного
из классической физики соотношения f = ma>2, где до - частота
осциллятора. В этих обозначениях кинетическая
22
гармонические: осцилляторы
{ГЛ. II
энергия имеет вид Т - р*/(2т), а потенциальная энергия равна V -
(то/2)ю2д2.
Классическая функция Гамильтона, следовательно, дается выражением

+ + (3-D
Переход к квантовой механике осуществляется с помощью замены импульса р
на оператор согласно правилу Я d
р== ~Т~Щ' (3-2)
Операторы png удовлетворяют перестановочному соотношению
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed