Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 28

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 118 >> Следующая

в нуль. На первый взгляд этот результат кажется удивительным, поскольку и
в случае колебаний континуума можно ожидать конечных амплитуд смещения.
Этот результат, однако, сразу становится понятным, если вспомнить, что в
квантовой механике мы имеем дело со средними значениями. В
рассматриваемой ситуации любое положительное смещение qix) так же
вероятно, как и отрицательное, так что в среднем они взаимно
уничтожаются. Для того чтобы получить порядок величины смещения, следует
рассмотреть среднеквадратичное значение амплитуды. Проведение
соответствующих вычислений довольно просто, и в результате получаем
яЧ%) = 2г 2рш^<2п- + 4>- 10-28)
Этот результат тем более замечателен, что даже при пю = 0
(10.28) имеет отличное от нуля значение. Он означает, что осцилляторы
даже в самом глубоком состоянии с конечной вероятностью имеют конечную
амплитуду смещения. Аналогичный результат получается также для <я2>, что
означает, что импульсы также имеют конечные значения. Эти результаты
являются не чем иным, как математическим выражением того обстоятельства,
что квантовомеханические осцилляторы испытывают нулевые колебания. Теперь
мы займемся интересным вопросом, нельзя ли с помощью подходящего выбора
волновой функции достичь того, чтобы средняя амплитуда qix) также и в
смысле квантовомеханического среднего была отлична от нуля. Этот вопрос
приобретает важное значение в связи с квантовой оптикой. В качестве
примера состояния, в котором среднее значение qix) не исчезает,
рассмотрим когерентное состояние вида
ф = в-<,/*),Р1У№".фн ' (10.29)
' где ^ должно быть равно
82 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. ill
Согласно упражнениям 4'к §§ 3 и 5, выражение (10.29) при Р, определяемом
(10.30), является решением зависящего от времени уравнения Шредингера с
оператором Гамильтона (10.17) (однако без постоянной нулевой энергии
Е'/гЙи(r)). Подставляя
(10.13) в (10.22), получаем
<ф|д(ж)|ф> =
2-/:
го Г
h
2p(owL
0eiwx <Ф I bw I Ф> + e~iwx <Ф I bt, | ф>), (10.31)
причем мы вновь переставили порядок суммирования и образования среднего
значения. Для вычисления выражения
<Ф|6"|Ф> (10.32)
вначале рассмотрим (ср. (10.29))
ьУь(tm)°Ф 0. (10.33)
При w Ф wo мы можем подействовать оператором bw прямо на Фо, тогда
(10.33) обратится в нуль. При w = wq пишем
(10.33) = (bw/b- e^°bw) Ф0. (10.34)
рь +
Перестановка е №" с bW(t дает, однако (ср. основное правило
(5.25)),
(10.33) = ре^Ф,. (10.35)
Если подставить эти результаты в (10.32), то получим, поскольку Ф
нормирована,
<ф | bw ] Ф> = p6WlW. = уе'^б^, (10.36)
и соответственно
<ф | Ь+ | Ф> = Р*8ш,1о0 = (10.37)
С -помощью выражений (10.36) и (10.37) для среднего значения амплитуды
смещения qix) получаем
<Ф | q (х) | Ф> = (ре*".* + р*<г <"•*). (10.38)
При р =(10.30) и действительном 7, таким образом, для когерентного
состояния в результате получается бегущая волна:
| <Ф | q (ж)|Ф> = A cos\wux - соте,?), , (10.39)
ТРЕХМЕРНЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ФОТОНЫ
83
где
Аналогичным образом получается выражение для среднего значения
канонически сопряженного импульса:
которое можно получить прямо из (10.39) с помощью дифференцирования по
времени. Этот пример отчетливо показывает, что, применяя соответствующие
волновые пакеты, можно проследить распространение волн и на средних
значениях. Приведенное выше рассмотрение было применено Шредингером при
обсуждении проблемы гармонического осциллятора.
Задания к § 10
1. С помощью (10.13), (10.14) выразить bw, bt через
9^2.' Вывести (10.18) из (10.7-10.9).
3. Чем следует заменить (10.39), если у в (10.30) комплексна? Указание.
Положить у =<= г0е!ф.
4. Вычислить <Ф|#(:г)|Ф> для
мы применим рецепты квантования, полученные в § 10. В (11.1) х - радиус-
вектор с компонентами х, у, z, А - оператор Лапласа:
Обобщая рассуждения § 10, сразу находим функцию Лагранжа, уравнения
Лагранжа для которой в случае континуума согласуются с (11.1). Запишем
функцию Лагранжа в виде ийтеграла
<Ф I л (х) | Ф> = Apci>",0 sin (w0x - (aWat),
(10.40)
Ф = {П ехР I Vi" |2jexp(y№e Ф0.
§ 11. Трехмерные проблемы: квантование скалярного волнового уравнения и
электромагнитного поля. Фотоны
Для квантования трехмерного волнового уравнения
(11.1)
L = (х) dsx
(11.2)
84 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ [ГЛ. III
от плотности лагранжиана S, которая в настоящем случае дается выражением
5г(х)=-|-ф2------1- (grad ф)2, (И.З)
или, в явном виде,
Соответствующие уравнения Лагранжа, совершенно аналогично одномерному
случаю, имеют вид
d &L 6Л/ а <" ¦ г,
' <"'5)
Если в левую часть (11.5) подставить выражение (11.2), где Six) задается
(11.3), то после проведения дифференцирования с учетом правила (9.29)
получается волновое уравнение (11.1). Канонический импульс вновь получаем
в виде
л (х) = ~L ¦ = рф (х). (11.6)
бф (х)
Перенесение перестановочных соотношений для одномерного случая на
настоящий случай можно провести без каких-либо трудностей, если заменить
одномерную S-функцию на трехмерную. Трехмерная 6-функция >8(х - х')
определяется с помощью свойства
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed