Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 14

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 118 >> Следующая

|Cn0+i|2<Tj4|bb+i)4,>. (4-25)
Далее мы используем перестановочное соотношение (3.18), после чего (4.25)
принимает вид
| С"0+112 <ф"01 (Ь+Ъ + 1) 1|}"0>. (4.26)
Учитывая, наконец, что фл0 является собственной функцией оператора
Гамильтона й-шЪ+Ъ, находим, что (4.26) принимает вид
I Спа+112 (п0 + 1) <фп" | 4ч>- (4.27)
Согласно индукционной посылке, мы можем принять, что <ФЧ | ф"0>
нормирована на 1. С другой стороны, выражение
(4.27), согласно (4.23), должно быть также равно 1, откуда мы получаем
I СПа+112 (Щ -Г 1) = 1.
Если считать коэффициент Сп"+\ действительным числом, то из предыдущего
равенства находим
г = ^
^"0 + 1 /---1-Т *
/"0 + 1
Если теперь подставить это выражение, а также (4.20) и (4.21) при п - п0
в (4.22), то мы получим
36
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
т. е. именно выражение вида (4.20) с учетом (4.21), однако для п = щ + 1.
Аналогичным образом можно доказать следующие формулы (задание 1 в конце
этого параграфа):
Стоящие здесь волновые функции т|зт зависят от безразмерной координаты |
и могут быть собственными функциями гармонического осциллятора.
Обобщение на набор осцилляторов. Развитый только что формализм можно
сразу же распространить на большое число осцилляторов. Для этого следует
в соотношениях (4.16-4.19) приписать операторам b+, Ь индекс к.
Операторное выражение й в
(4.19) может также содержать операторы Ъ, Ъ+ с различными индексами
к.
Если Ф{п) - функции (0.46), то справедливо, в частности*),
(4.31)
или, в краткой форме,
В данном случае индекс к в произведении JJ пробегает значения целых чисел
от 1 до А. В рассмотренных ниже случаях он может иметь также другой
смысл, например, он может быть волновым числом. Далее, справедливы
соотношения
Произведения распространяются на все /г, исключая к=].
3 а д а н п я к § 4
1. Вывести-соотношения (4.28), (4.29), (4.30).
Указание.
а) (4.28): сделать 6+фп нормированной функцией.
б) (4.29): применить (4.18) и сделать Ь+фп-1 нормированной функцией.
<^n+l!b+^n> = У'п + 1,
(фп-гЩп) = V п,
^I'm j Фп) ~ 8пт.
(4.28)
(4.29)
(4.30)
<Ф{гг} | Ф{т>) - IX
к
(4.32)
/т. . I h+1 т, \ - ТТ я я . ,/У,, -_pl,
(4.33)
(4.34)
*) Условие ортогональности. (Прим. перее.)
§ 5] ОБ ОБРАЩЕНИИ С БОЗЕ-ОПЕРАТОРАМИ 37
в) (4.30): рассмотреть отдельно ва) т = п и вб) т?=п.
ва) Доказан выше (нормировка).
вб) С помощью (4.18)... перевести (4.30) в выражение
и т. д., пока п или т не станет равным нулю. Тогда воспользоваться тем,
что &гро = 0.
2. Вычислить для собственных функций гармонического осциллятора выражения
<i|:J((H)2ltA <i|:Jb+&|i|j">, <i|)J&6+]ф">, <г|э"1
3. Считая, что (4.16) и (4.18) заданы наперед, доказать (4.19) для Q =
(b+)nbm.
Указание. Последовательно использовать сначала (4.18), затем (4.16).
4. С помощью интегрального представления (4.14) доказать,
что
<ф1х>* = <х!ф>,
а также <tpl&+1х>* = <х!Ыф>, <ф!&1х>* = <х!^+!ф> и, наконец,
<ф|(6+)тН}с>* = <хК&+),!&т1ф>.
5. Вычислить ожидаемые значения /ф*(1)Й(§)ф(|)с/? для Q(g)=|; |2; d/d%;
d2/dl2, используя формализм операторов Ь, Ь+ и "скобок" <...|...>.
6. Пусть нормированные собственные функции двух несвязанных осцилляторов
обозначены Фп,,па (см. (3.46)). Показать, что
<Фп,
it вычислить следующие матричные элементы:
^Фп1,п2^1^^т1,тг^1 ^Фп^л^г Фтит2У i ^Ф/Ь Д'з^1 ^зФт1,т2')-
7. Обобщая задание 4, последовать набор N несвязанных осцилляторов с
нормированными собственными функциями (3.46). Доказать выражения (4.32),
(4.33), (4.34).
§ 5. Об обращении с бозе-операторами: мы учимся некоторым приемам
В квантовой теории поля нам приходится в еще большем, чем в квантовой
механике, объеме общаться ,с операторами. По опыту известно, что это
общение причиняет студентам трудности. Одни из них слишком неосторожны и
обращаются с операторами как с обычными числами, при этом они быстро
допускают ошибки в решении, а другим, слишком боязливым, операторы
представляются ядовитыми змеями, с которыми по возможности лучше не иметь
дела. Мы покажем здесь, что, немного поразмыслив, можно
38
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
научиться правильному обращению с операторами и они станут совершенно
безобидными.
В этом параграфе мы рассмотрим только два основных оператора, а именно,
оператор рождения Ь+ и оператор уничтожения Ъ. Эти операторы
удовлетворяют перестановочному соотношению
ЬЪ+ -Ь+Ь = 1. (5.1)
Перестановочное соотношение (5.1) является для последующего изложения
основным. Теперь мы хотим последовательно поразмыслить о том, что можно
делать с операторами и чего делать нельзя. Как мы знаем, следует
постоянно представлять себе, что операторы действуют в конце концов на
некоторую волновую функцию. В качестве простого примера этого рассмотрим
линейную комбинацию двух волновых функций, а именно, волновой функции
основного состояния гармонического осциллятора и волновой функции первого
возбужденного состояния. Эту комбинацию можно представить в виде
Ф = рФо + fl>i = (ЗФ0 + Ь+Фо. (5.2)
В правой части волновую функцию основного состояния можно формально
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed