Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
через операторы Ь и Ь+ и наоборот. Если мы подставим операторы Ь и Ь+ в
выражения вида
Вместо того чтобы вычислять средние значения с помощью выражений (4.2),
теперь нам нужно вычислить средние значения с помощью операторов вида
(4.3). Для этого мы воспользуемся некоторыми приемами.
Рассмотрим две исчезающие на бесконечности функции ср(|) и %(g). Образуем
с их помощью интеграл от - °° до + °°
который согласно определению оператора b (3.15) тождественно равен
интегралу
Мы хотим перенести действие оператора 1 + (d/d%) в интеграле (4.5) с
функции ф* на функцию %. Поскольку g является лишь множителем, мы можем
сразу расположить функции ф*, g и % в указанном порядке. Операцию
дифференцирования функции ф* по g перенесем на функцию % с помощью
интегрирования по частям, т. е. воспользуемся тождеством
(4.2)
то получим линейные комбинации выражений вида 6, Ь+, Ь2, Ь+2', ..., Ь+Ь,
..., (Ь+)т.
(4.3)
(4.4)
(4.5)
4-00
=0
откуда получим
(4.6)
При этом мы использовали условие исчезновения функций Ф и % на
бесконечности, которое справедливо для всех функций
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
33
гармонического осциллятора. Оператор
(4.7)
согласно определению (3.14) является оператором Ь+, так что в результате
для (4.4) мы получаем
Если объединить все цромежуточные шаги, то конечный результат принимает
вид
Соотношения (4.9) и (4.10) позволяют нам найти конечное выражение для
средних значений чисто алгебраическим путем. Введем, далее, еще одно
весьма четкое и часто используемое в литературе краткое обозначение.
Вместо интеграла введем угловые скобки и соответственно этому папишем !)
Если между функциями % и Ф* стоит оператор 6, то мы пишем
Если между указанными функциями стоит, наконец, какое-либо операторное
выражение совершенно общего вида Q(6+, 6), то мы пишем в этом случае
') В литературе вместо обозначения (4.12) часто применяется еще и другое,
согласно которому в скобках стоят не функции, а соответствующие квантовые
числа. То есть делается замена <Ф"| ФтУ-*~<.п\тпУ. Волновые функции,
стоящие в скобках справа, записывают в видеФт->| ту, волновые функции Ф*
слева в скобках заменяют следующим образом: Ф*-><п|. Согласно Дираку <п|
называют "бра", а |т,У-"кет". Произведение <п| и |га>, имеющее вид
^п|га>, дает, следовательно, "бракет". Эти обозначения основаны на игре
слов, поскольку по английски "bracket" - "скобка". Названия "бра" и "кет"
теперь уже стали специальными терминами.
3 х. Хакен
(4.8)
(4.9)
Таким же образом можно показать, что
(4.10)
и, применяя этот прием п раз, получаем соотношение
(4.11)
(4.12)
(4.13)
|Ф*?2(6+, Ъ) %d?, = <Ф|Q (6+, Ь) | х>.
(4.14)
34
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. И
(Об операторных функциях такого рода мы обстоятельно поговорим в
следующих параграфах.) Вторая вертикальная черта в выражениях (4.13) и
(4.14), в общем, излишняя, и в последующем изложении иногда мы будем
опускать ее.
Правые части выражений (4.12), (4.13) и (4.14) представляют собой не
более как сокращения. Однако, как мы сейчас увидим, явные выражения
интегралов пам более не нужны. Используем теперь эти новые краткие
обозначения, чтобы переписать соотношения (4.9) и (4.10). Для этого мы
положим
Ф = (4.15)
и вместо (4.9) получаем
| <&ф1ук> = <ф|6+1х>. (4.10)
Положив
Ф = Ь+ц>, (4.17)
вместо (4.10) получаем
| <Ь+ф1х> = <ф1Ь1х> (4-18)
и, обобщая эти соотношения, находим
I <?2ф|%> = <Ф|?>+|%>. (4.19)
Нначок + у Q означает, как и везде в этой книге, эрмитово сопряженно:
каждый стоящий в Q+ оператор нужно снабдпть крестиком, причем следует
полагать, что Ъ++ - Ъ. Кроме того, во всех произведениях следует поменять
порядок следования операторов. Наконец, все числа следует заменить
комплексно сопряженными. Покажем на примере операторного выражения Q =
а(Ь+)"/?'", как следует применять это правило:
Q+ = а*Шт)+{{Ь+)п)+ = а *(6+)'"(Ь++)" = а*(1г)п,Ът'.
Для того чтобы поближе познакомиться с применением нового формализма,
рассмотрим
Пример. Определение нормировочной константы функции осциллятора. В § 3 мы
определили собственные функции гармонического осциллятора в виде
фп = (Уп(6+)"фо, (1.20)
причем нормировочная константа Nn осталась неопределенной. Мы утверждаем,
что эта нормировочная константа имеет вид
(/,21)
поскольку фо уже нормирована, что постоянно предполагается в дальнейшем.
Доказательство поведем методом полной индукции.
§ 41 ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ,35
1. Наше утверждение справедливо, учитывая предположение относительно
t|>0, для п = 0.
2. Это утверждение уже доказано для п = щ, т. е. ij'По нормирована.
3. Покажем, что тогда оно справедливо также для п = ио+1. Для этого
положим
Фп0-ц =- С"с+1?;+ф"0, (4.22)
причем СПо+1 - постоянная, которую мы должпы сейчас определить, а
гр"0, согласно индукционной посылке, считается
нормированной.
Подставим (4.22) в условие нормировки
| ^n0+i) = 1. (4.23)
Тогда для левой части (4.23) получаем
|СПо+1|2<ь+^т10|Ь+я|ч>, (4.24)
или, применяя соотношение (4.18),
