Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 12

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 118 >> Следующая

Так как индекс I может быть любым, то (3.45) должно быть справедливым для
всех I - 1, ..., N. Одновременно отсюда следует, что Е0 = 0.
Мы можем теперь последовательным применением операторов bf точно так же,
как для отдельного гармонического осциллятора, образовать общее
собственное состояние оператора Гамильтона (3.35), которое принимает вид
^ 1 Гь+уч (utAnN fh 14 Л(К\
§ 3] ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ Й УНИЧТОЖЕНИЯ 29
где радикал отвечает за нормировку. Показатели щ являются целыми числами
^ 0, причем по определению
О! = 1, (Ь+)° = 1.
Энергия, соответствующая состоянию (3.46), равна | Е +%а>2п2 +
. .. +h<S)NnN (+ нулевая энергия),
(3.47)
причем
Нулевая энергия = ('/гШсщ + ... + %),
Выражение (3.46) можно переписать в краткой форме
Фы = П-±~Ы)чФв, (3.48)
h у nk\
и соответственно (3.47) принимает вид
Е = ^%(?>кпк. (3.49)
к
Эта запись имеет то преимущество, что мы можем использовать
ее и тогда, когда к - не целые числа 1, 2, ..., а, например,
век-
торы.
Числи заполнения п
т
, п
: ¦ ! ¦ 1
1 г 3 4 5 6 7
Индекс состояния а)
к
Ш Ш
Ш к
Занятые осцилляторы 6)
Рис. 13. Два различных способа описания состояний (см. текст).
Формально в представлении (3.46) или (3.48) для функции состояния
присутствуют все пк, даже если они равны нулю. На рис. 13, а приведен
соответствующий пример. Здесь совокупность in) имеет следующий вид:
Ы = (0, 1, 0, 3, 0, 0, 2, 0).
Следовательно, возможно и другое представление, в котором следует
учитывать только nh > 0. В этом случае индексы осцилляторов, связаны
неравенствами Ад < к2 < ... < км. В нашем примере
30 ГАШОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ [ГЛ. II
*1 = 2, *2 = 4, *з-=7 (рис. 13, б). В общем случае мы пишем
ф<'> ° н;~! г"(ь°"к' ¦ ¦ ¦ (ьЦ'к"ф" <3-50>
У Пкг]пк,] ¦ ¦ ¦ Пкм\ К 1
где все nKj > 0.
Заданияк § 3
1. Показать, что энергия гармонического осциллятора всегда >0.
Указание. Умножить обе стороны (3.7) на ф* и проинтегрировать по Член
+°°
f
d2
ф* о rt d\
т 2т dlz т
мояшо преобразовать с помощью интегрирования по частям.
2. На примере собственной функции наинизшего состояния
фп= -7=(&+)пф0 (и = 0,1,2,3) (А 3.1)
У "1
показать, что функции, определенные выражением (А 3.1), будучи
представлены как функции аргумента ?, принимают обычный вид волновых
функций осциллятора:
Ф"Й) = спе-6,/*Яп(|),
где е" - константа нормировки, Н"{|) - полином Эрмита "-го порядка.
Указание. Выразить ф0 согласно (3.25) и Ь+ согласно (3.14) через |.
3. На гармонический осциллятор действует дополнительно внешняя зависящая
от времени сила КШ. Какой вид имеет зависящее от времени уравнение
Шредингера в представлении операторов уничтожения и рождения Ъ и Ь+?
4. Показать, что общее решение зависящего от времени уравнения Шредингера
ЙсоЬ+Ьф = имеет вид
со
^ '2ic*7=sb+)n^e~in's>i'
П=0 г "1
оде с" - произвольные независящие от времени коэффициенты. § 4.
Вычисление средних значений
В классической механике движение частиц описывается с помощью измеряемых
величин, таких как координата, импульс, кинетическая энергия и т. д. Этим
измеряемым величинам в кван-
ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
31
товой механике сопоставляются операторы. Образуя средние значения, мы
можем затем сделать предсказания относительно измеряемых величин. Для
одномерного движения это делается по приведенной в табл. 1 схеме. При
вычислении средних значений в основу следует положить условие нормировки
J Ф* (?' *) Ф (?> dq = 1.
Пределы интегрирования от - °° до +
Таблица 1
Механические ПСЛИЧ1ШЫ Операторы Средние значения
Коордпната 9 (0 9 j i|i* (q, t) ?г|з (q, t) dq
Импульс Р (*) Pi d i dq С h d J Ф* (9. 0 7 Tq Ф dq
Кинетическая энергия Р2 2т -ilil 2m dq2 f *•<••*>(-??)* X •>!> (9,
t) dq
Потенциальная энергия Ш о о Тсо q m о о Т " 4 J Ф* (9, t) -у W Vl|> (q, t)
dq
Полная энергия 2 Р 171 л о coV 2m dq^ 2 f Ц)*(9, t)(-rf.JL + J 2m
dq* + -|r m2q2>j Ф dq
Вычисление средних значений с помощью Ь и Ь+. В предыдущих параграфах мы
определили собственные функции и собственные значения только с помощью
перестановочных соотношений
(3.18), не пользуясь тем, что ф является функцией q (или |). С другой
стороны, средние значения, согласно приведенной выше табл. 1,
определяются как интегралы по q. Следовательно, схема решения с помощью
операторов Ь и Ь+ будет полной, если мы найдем чисто алгебраический метод
вычисления средних значений. Ради простоты мы сразу проведем вычисления в
безразмерной координате |. Предположим, что основное состояние уже
нормировано:
vj ФоФсД = 1- (4-1)
Приведенные в табл. 1 средние значения строятся с помощью операторов,
имеющих следующую структуру:
32
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
они содержат либо
а) координату q или теперь уже безразмерную координату g и ее степени,
либо
б) производные первого и более высоких порядков по g. Вообще, можно
представить себе оператор, который построен
как из степеней g, так и из производных по g. Как координату 1, так и
производные djd\ мы можем, согласно формулам (3.14) и (3.15), выразить
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed