Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 11

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 118 >> Следующая

Отсюда очевидно, что если г|) - собственная функция, то также является
собственной функцией, соответствующей большему на Йо собственному
значению. Действуя п раз оператором Ь+, получаем собственную функцию n-го
возбужденного состояния
1])" = (&+)"фо. (3.28)
Поскольку уравнение (3.17) однородно относительно i|), то собственная
функция, как обычно, определяется с точностью до неопределенного
постоянного множителя. Мы выберем этот множитель таким образом, чтобы
ч|)" была нормирована. Здесь и в последующем изложении мы выбираем
нормировку в безразмерной
26
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ
[ГЛ. II
координате | следующим образом:
-f-oo
J ф* (I) фп (I) (11 = 1.
- оо
Нормировочный множитель, как мы покажем нпже (см. (4.21)), можно
определить чисто алгебраически. Здесь мы заранее используем этот
результат и запишем нормированную собственную волновую функцию в виде
(3.29)
Каков явный вид соответствующих собственных значепий? Чтобы получить те
собственные значенпя, которые соответствуют п = 0, умножим (3.23) на Ь+ и
сравним результат с основным уравнением (3.17).
Очевидно, что Е0 = 0.
Поскольку при последовательном /г-кратном действии оператора Ъ+ па г|)о
энергия Е0 увеличивается каждый раз на %а>, то еобстведпоо значение
(3.29) есть
Е' = "Йш, (3.30)
или, в первоначальной эпергетической шкале уравнепия (3.5),
| е = (n -f Па>. (3.31)
Следовательно, (3.30) можно интерпретировать как наличие в п-м состоянии
п квантов энергии, каждый из которых равеп йсо. Поскольку при действии
оператора Ъ+ на i[)" число квантов увеличивается на один, т. е. рождается
один добавочный квант, то оператор Ь+ называется оператором рождения.
Поскольку при действии оператора Ъ на ф (см. (3.20-3.22)) один квант
уничтожается, то оператор Ъ называют оператором уничтожения (рис. 12).
Большое число несвязанных осцилляторов. Теперь мы перенесем результаты,
полученные для одного осциллятора, на случай большого числа осцилляторов.
Для этого предположим, что отдельные осцилляторы, координаты q которых мы
будем различать индексом к, колеблются независимо друг от друга. Массы и
частоты осцилляторов могут быть разными и будут соответственно также
обозначаться индексом к. Классическая функция Гамильтона этой системы
равна просто сумме по всем функциям Га-
ь 4
'1 9и
А
1

1 9а 4

Рис. 12. Операторы рождения п уничтожения вызывают подъем или спуск по
лестнице состояний.
ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ
27
мильтопа отдельных осцилляторов:
я=2яй, (3.32)
h
где
Я1 2 " 2 2 /о г*г>\
k = 2"Г" Ph ^-2~ah^k' (о.Зо)
Для перехода к квантованию, следует воспользоваться правилом замены
% д I о о / \
Pk=-ofk- (3-^)
Выполняя для каждого отдельного осциллятора все проведенные выше
преобразования, получим оператор Гамильтона для
несвязанных осцилляторов следующего вида:
Я= 2йю*№* + 1/2). (3.35)
Сумму 2 (1/2) Йо>А мы назовем нцлевой энергией. Поскольку она
h
является константой, то в последующем мы будем считать, что нуль
энергетической шкалы сдвинут, так что нулевая энергия 2(1/2) в (3.35)
может быть опущена. Уравнение Шрсдип-
h
гера тогда имеет вид
{Йо)1Ь^Ь1 фТтф^Ь^ %в>уЬнЬу\ Ф - ЕФ. (3.36)
Здесь вновь имеют важное значение перестановочные соотношения.
Естественно, мы имеем
bhbt-btbh = 1. (3.37)
Наряду с этим перестановочным соотношением мы должны еще указать, каким
перестановочным соотношениям удовлетворяют операторы bh и т. д. с
различными индексами к и к'. Поскольку операторы bk и bt состоят из qh и
djdqh (см. (3.14) и (3.15)) и djdqh коммутирует соответственно с qh.
{кфк'), мы сразу получаем *
ЪФк - bi-bh - 0 для к Ф к'. (3.38)
С помощью символа Кронекера
^i1 для А==А; (3.39)
10 для кФк'
28 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ (ГЛ. II
(3.37) и (3.38) можно объединить:
| Ъфь' - bt'bh - bkh'- (3.40)
Таким же простым образом можно получить следующие перестановочные
соотношения:
Ьфк' - bh.bh = 0, (3.41)
bibt.-bt.bt = 0. (3.42)
Это и есть перестановочные соотношения для бозе-операторов. В последующем
изложении мы используем для комбинации двух операторов А и В (здесь,
например, А = bk, В - bw) сокращенное обозначение
АВ-ВА = 1А, В],
которое называется "коммутатором операторов А и В".
Теперь мы покажем, как с помощью перестановочных соотношений (3,40-3.42)
можно сконструировать собственные состояния и найти собственные значения
энергии. При этом будем считать, что Фо является наинизшим состоянием.
Соответствующую наинизшую энергию обозначим Е0. Умножая теперь (3.36) на
6( и используя перестановочные соотношения (3.40) и (3.41), получаем
[%(o1bib1bi-\-'h<o2bibibi + .. . + bi+ • • • 1
Ф0=?ДФ".
(3.43)
Перенося /гюг6гФ0 в правую часть уравнения, получаем
bj_ + ... 4- U^ibtbi + ... ] 6гФ0 = (Е0 - 7ш() 6,Ф0. (3.44)
Отсюда следует, что 6гФ0 является новой собственной функцией с еще
меньшей собственной энергией, что находится в противоречии с пред по лож
е и ие м, что Е0 уже является наинизшей энергией. Следовательно, вновь
должно быть
6, Ф0 = 0. (3.45)
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed