Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
квазипериодические движения?" - вопрос очень актуальный в связи с
проблемой возникновения турбулентности. Полное доказательство теоремы
Мозера о существовании квазипериодиче-ских решений дано в приложениях к
основному тексту.
Глава 7: "Нелинейные уравнения. Принцип подчинения", пожалуй, наиболее
существенна для понимания возможности самоорганизации в различных
системах (на принятом в книге уровне описания). Принцип подчинения,
который иллюстрируется на многих примерах, описываемых как динамическими,
так и стохастическими уравнениями, позволяет выделить при образовании (по
мере изменения бифуркационного - управляющего - параметра) новых
диссипативных структур величины, которые играют роль параметров порядка.
Изложение начинается с очень простых примеров и завершается исследованием
дискретных отображений со случайными источниками и стохастических
дифференциальных уравнений. При этом переход от дискретного времени к
непрерывному в стохастических уравнениях не является тривиальным. Надо
про-
Предисловие редактора перевода
9
водить четкое различие между точками в совпадающие моменты и в моменты
времени, разделенные бесконечно малыми промежутками.
Введение общего принципа подчинения как одного из основных принципов
самоорганизации принадлежит Г. Хакену. Основываясь на нем, в сложных
системах можно исключить большое число переменных и свести задачу к
решению небольшого числа переменных, играющих роль параметров порядка.
Процедура упрощения исходных сложных систем уравнений сама по себе,
разумеется, далеко не нова. Она уже давно с успехом применяется в физике
и особенно в химии. Ее часто называют редукцией. В теории
дифференциальных уравнений основой этого метода служат работы Л. С.
Понтрягина [10] и А. Н. Тихонова [11], посвященные исследованию систем
уравнений, содержащих малые параметры при производных. Широко
используется в практических расчетах известная теорема Тихонова (см.,
например, [12]). Метод редукции используется и в статистической физике
при получении кинетических уравнений [5, 7-9]. Эти работы фактически
содержат обоснование принципа подчинения - одного из важнейших
инструментов теории самоорганизации.
Некоторым читателям предыдущие главы, быть может, покажутся несколько
утомительными, но, добравшись до гл. 8: "Нелинейные уравнения.
Качественные макроскопические изменения", даже наиболее скептически
настроенные из них увидят, что они трудились не зря. Эта глава посвящена
центральной проблеме синергетики. В ней дается описание качественных
изменений в сложных макроскопических системах при изменении управляющих
параметров. Глава написана блестяще. Она читается со все возрастающим
интересом. Хотя многие из рассматриваемых здесь вопросов можно найти в
недавних обзорах и новейших монографиях, изложение Г. Хакена захватывает
своей свежестью, последовательностью, доступностью и вместе с тем
глубиной. Читатель видит, что математический аппарат предыдущих глав
начинает работать в полную силу. Результаты Колмогорова-Арнольда-Мозера
приобретают практическую значимость. Подход автора от традиционного
подхода существенно отличается широтой и возможностями. Он позволяет не
только описывать различные бифуркации, но и судить о поведении решений
вблизи стационарных состояний, т. е. о релаксации.
После рассмотрения последовательности бифуркаций, приводящих ко все более
сложным движениям, автор делает замечание о роли флуктуаций, перекидывая
тем самым мостик к дальнейшему изложению, и переходит к заключительному
пункту этой главы: "Иерархия неустойчивостей. Сценарии, пути к
турбулентности". Здесь кратко обсуждаются возможные пути (возможные
"сценарии") перехода к турбулентности: возникновение турбулентности по
Ландау и Хопфу; возникновение турбулентности по Рюэлю
10
Предисловие редактора перевода
и Такенсу; переход к турбулентности через последовательность бифуркаций
удвоения (механизм Фейгенбаума); переход к турбулентности через
перемежаемость турбулентного и ламинарного течений. Остается открытым
вопрос о физических условиях, при которых оказывается возможным тот или
иной путь перехода к турбулентности. Открытым, в частности, остается
вопрос об области существования трехчастотных квазипериодических движений
(трехмерных торов), которые наблюдаются, например, при течениях между
вращающимися цилиндрами.
При всех разобранных "сценариях" турбулентность возникает через
последовательность бифуркаций, происходящих по мере увеличения значения
управляющего параметра (числа Рейнольдса). Этим бифуркациям отвечают (по
принятой теперь терминологии) неравновесные фазовые переходы. Можно
сказать, таким образом, что переход от ламинарного течения к
турбулентному идет через последовательность фазовых переходов. По И.
Пригожину и Г. Хакену процессы самоорганизации представляются как
последовательности фазовых переходов, происходящих при изменении
соответствующих управляющих параметров. В связи с этим можно поставить
