Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Я I < I v01 е
,-i к 11
при всех t>t0.
(2.4.32)
Тогда
| q | -> 0 при t ->- оо, (2.4.33)
откуда с учетом (2.4.18) мы заключаем, что
N (q) 0. (2.4.34)
Так как функция N непрерывна, обращается в нуль лишь в конечном
числе точек q и стремится к нулю, траектория q (t)
должна
стремиться к одной из особых точек
q/ = const, (2.4.35)
т. е. заканчиваться в особой точке. Следовательно, если траектория q (t)
не заканчивается в особой точке, то остается единственная возможность:
соответствующий показатель Ляпунова равен нулю, что и требовалось
доказать.
2.5. Прямые и обратные уравнения: дуальные пространства решений
Имея в виду задачи, которые нам предстоит рассматривать в дальнейшем,
изменим слегка наши обозначения и будем вместо q(/) писать w{k).
Уравнения (2.4.14) и (2.4.11) в новых обозначениях имеют вид
ww (0 =
:L(/)w№)(0,
(2.5.1)
где
w
.<*".
w{k)
wP
W,
m
(2.5.2)
Различные вектор-решения мы отличаем по верхнему индексу и предполагаем,
что они образуют полное множество, т. е. что совокупность всех линейных
комбинаций этих векторов, называемая также их линейной оболочкой,
совпадает с пространством решений. Матрица L, где
L = (Lir)' (2-5.3)
может зависеть от времени произвольным образом. Разумеется,
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения ИЗ
уравнение (2.5.1) можно представить в несколько более наглядном виде
Скалярное произведение (...) векторов w и w мы определяем следующим
образом:
Все наши соображения без труда обобщаются на случай дифференциальных
уравнений в частных производных, когда оператор L действует на
пространственные координаты. Сумма, стоящая в правой части (2.5.7),
заменяется при этом суммой по j и интегралом по пространству
Выясним теперь, всегда ли можно найти уравнение для базисных векторов
дуального пространства (см. (2.5.5)), которое гарантировало бы, что при
всех t (как t > 0, так и / < 0) его решения ортогональны базисным
решениям (2.5.2) исходного уравнения (2.5.1).
Потребуем, чтобы элементы матрицы L были связаны с элементами матрицы L
соотношением
(2.5.4)
• L w
w
Как известно из алгебры, можно построить дуальное к w№) (0) пространство
с базисом w(fc *(0), таким, что
<w<ft,)(0)w(fc)(0)> = 6ftft, при всех k, k', (2.5.5)
где
при k = k' при k=/=k'.
(2.5.6)
(2.5.7)
Е -> ЕI d3x.
(2.5.8)
/ /
(2.5.9)
удовлетворяющий уравнению
(2.5.10)
(2.5.11)
или, в матричном виде, чтобы
L = -L.
(2.5.12)
114
Глава 2
По аналогии с (2.5.4) уравнение (2.5.10) можно представить в виде
(2.5.13)
Покажем, что условие ортогональности (2.5.5) выполняется при всех t, если
w удовлетворяет уравнениям (2.5.10). Продифференцировав скалярное
произведение (2.5.7) (векторы w<ft ' и w{k) выбраны в момент времени t),
получим
- <w(k,) (t) w(ft) (/)> = (w{k,)(t) w<ft)(o) + (0w(ft) (/)).
dt
(2.5.14)
Уравнения (2.5.10) и (2.5.1) позволяют преобразовать (2.5.14) к виду
J- <w(ft) (0 w(*> (/)> = (01 (0 w(ft) (/)> + <w<n (it) L (0 w(ft)
(/)>•
at
(2.5.15)
Из (2.5.12) следует, что правая часть уравнения (2.5.15) равна нулю. Это
означает, что условие ортогональности (2.5.5) выполняется при всех
последующих t (или, если идти по 1 в обратном направлении, при всех
предыдущих i). Наш окончательный результат можно записать в виде
<w(ft,)l(0w№)(0> = 6ftft,. (2.5.16)
В последующих разделах мы покажем, что для некоторых классов матриц L (t)
векторы w(ft) допускают разложение
w(ft) = ex*' v№) (t), (2.5.17)
где векторы v(ft) обладают специальными свойствами. В этом разделе мы
воспользуемся разложением (2.5.17), никак не специализируя его, т. е. не
предполагая особых свойств векторов v(ft). Пока нам хотелось бы лишь
показать, что всякий раз, когда мы используем разложение (2.5.17) для
вектора w(ft) и аналогичное разложение
- (*') = e-4'i у(Г) (t) (2.5.18)
для вектора w(ft), вектора v удовлетворяет соотношению ортогональности
(2.5.16). Числа "Kk совершенно произвольны. Подставляя (2.5.17), (2.5.18)
в (2.5.16), получаем
exp[(h-h')f]Wk'Vk)) =bkk,. (2.5.19)
Используя определение символа Кронекера, соотношение (2.5.19)
г О
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
115
можно представить в виде
<v(*,)v(*)> = 6Wk,. (2.5.20)
Соотношения (2.5.16) и (2.5.20) понадобятся нам в следующих главах.
2.6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Выясним теперь, какой вид имеют решения уравнения (2.5.1), когда L -
постоянная матрица. Если вектор q задан при i - 0, то формальное решение
уравнения (2.5.1) с постоянной матрицей L представимо в виде
Я(/) = е"Ч(0), (2.6.1)
формально аналогичном решению (2.1.5). Заметим, однако, что L-матрица,
поэтому формальное решение (2.6.1) требует некоторых пояснений. Оно
обретает смысл, если воспользоваться определением экспоненциальной
функции от оператора с помощью разложения в степенной ряд
оо
eLt=Z- (Lt)\ (2.6.2)
v=0 v!
Поскольку степень матрицы определена, правая часть (2.6.2) также
определена. В частности, ряд (2.6.2) сходится в том смысле, что каждый
