Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
q<;) определены не однозначно, так как с помощью линейного преобразования
(2.4.10) мы можем перейти от одного базиса {q(/)} К другому {q(/)|.
Часто бывает удобно объединить отдельные вектор-решения q в матрицу
решений Q:
,(2)
q~, • • • , q(n))- (2.4.11)
Записав матрицу Q поэлементно
Q = (Qa) (2.4.12^
и сравнив ее с матрицей, стоящей в правой части (2.4.11), находим
Qii = Qi
</>
(2.4.13)
Матрица решений удовлетворяет уравнению
Q (0 = LQ (t).
(2.4.14)
Рис. 2.4.1. Трехмерное вещественное линейное векторное пространство.
Приведенное выше утверждение о переходе от одного базиса \q{,)} к другому
может быть сформулировано точно в виде следующей теоремы.
Теорема 2.4.1. Пусть Q (t) - невырожденная матрица решений,
удовлетворяющих уравнению dQ/dt = L (t) Q.
Тогда множество всех невырожденных матриц решений образуют матрицы Q (t)
С, где С - любая невырожденная матрица ti X п. При любом t0 ? I и любой
комплексной постоянной матрице Q0 существует единственная матрица решений
Q (t), такая, что Q (^0) = Q0. Множество вектор-решений q(l> (t), q<2)
(t), . . . , q(n) (t) уравнения dq/dt = - L (t) q образуют базис в
пространстве решений в том и только в том случае, если они образуют
столбцы матрицы, удовлетворяющей уравнению dQ/dt = L (t) Q и
соответствующей невырожденной начальной матрице Q0.
Дифференциальная система dq/dt = L (t) q, где а<Л<Р = оо, называется
устойчивой, если каждое решение остается ограниченным при t ->- оо, т. е.
если
linkup (|,(0||<~. (2 416)
Иногда бывает полезна следующая теорема. Пусть Q (t) - матрица-решение,
удовлетворяющая уравнению dQ/dt = L (t) Q. Тогда (d/dt) det {Q (0) = Sp
{L (t)j det {Q (if)) в каждой точке t в I, где Q (t) - невырожденная
матрица, a Sp \L (*)} - так называе-
110
Глава 2
мый след матрицы L (t), т. е. сумма элементов, стоящих на ее главной
диагонали. Матрица решений невырождена хотя бы в одной точке интервала /.
В разд. 2.1 мы рассмотрели асимптотическое поведение решения
дифференциального уравнения q - a (t) q. Это привело нас к понятию
характеристического показателя и обобщенного характеристического
показателя X. Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае -
относительно системы (2.4.2).
2.4.4. Обобщенные характеристические показатели и показатели Ляпунова
Пусть L (t) - непрерывная матрица и
sup { \aij(t) | }<zB при всех а<Л< оо (2.4.16)
и некоторой постоянной В. Тогда для любого вектор-решения, q(t) (0
уравнения dq/dt = L (t) q
lim sup {f-1 In | q(I)(0 | } = Xlt \Xi\cBn. (2.4.17)
> CO
Получающиеся при этом действительные числа Xt называются обобщенными
характеристическими показателями. Существует не более п различных
обобщенных характеристических показателей. Дифференциальная система
устойчива, если все Xt отрицательны.
Частным случаем обобщенных характеристических показателей являются
показатели Ляпунова.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим нелинейные уравнения вида
Я (0 - N (q (0)" (2.4.18)
где N - нелинейная вектор-функция вектора q. Пусть q0 - решение уравнения
(2.4.18). Линеаризуем уравнение (2.4.18) в окрестности решения q0, т. е.
подставим q = q0 -f- 6q и удержим только линейные члены
6q=L(q0 (0) 6q, где L (q0 (t)) - матрица L = (Lki),
dNk (q" (())
Lkl - -----------•
dqo, l (0
В таких случаях обобщенные характеристические показатели возмущения 6q
называются показателями Ляпунова решения q0 (^).
В заключение этого раздела наметим доказательство следующей теоремы: если
траектория автономной системы остается в ограниченной области при t т->-
оо и не содержит особой точки, то по крайней мере один показатель
Ляпунова равен нулю.
Для доказательства этой теоремы примем такие предположения относительно N
(q (^)) в (2.4.18): N (q (t)) - непрерывная
(2.4.19)
(2.4.20)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
111
функция от q (t) и имеет лишь конечное число нулей (соответствующих
особым точкам дифференциального уравнения (2.4.18)).
Идея доказательства этой теоремы очень проста. Положив для краткости
8qsun отбросив индекс 0 у q0, получим для и из (2.4.19) уравнение
Построим решение уравнения (2.4.21) с нулевым показателем Ляпунова.
Дифференцируя по времени правую и левую части уравнения (2.4.18),
нетрудно убедиться в том, что
- решение уравнения (2.4.21). Так как вектор-функция N непрерывна, а
вектор q (t) ограничен при t оо, N также ограничена; т. е.
По определению lim sup для любого е>0 существует некоторое t0, такое, что
при любом f>t0 выполняется неравенство
u = L(q (0)u. Показатель Ляпунова определяется по формуле
Я = lim sup -In | и (t) |.
t-?00 t
(2.4.21)
(2.4.22)
u = q
(2.4.23)
'N(q(Q)|<A D>0.
Из (2.4.18) и (2.4.23) получаем, что
|u|<D.
Итак, мы приходим к неравенству
Я - lim sup -5- In | и (t) | < lim sup -- In D,
t-+oо t t-+oo t
из которого заключаем, что
(2.4.25)
(2.4.26)
(2.4.24)
Я < 0.
(2.4.27)
Предположим теперь, что
Я<0.
(2.4.28)
-у- 1п|*7|<Я + е.
(2.4.29)
(2.4.30)
(2.4.31)
112
Глава 2
мажорирующую q так, что
