Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(2.3.22)
Нас интересует характер временной зависимости частного решения
неоднородного уравнения (2.3.22). Пусть и (t) - квазипериодическая
функция с основными частотами Oj, ю2, . . . , юл. Так как
106
Глава 2
функция иг1, как показано выше, существует и квазипериодиче-ская, мы
можем представить ее в виде
ы"1(т)= ?4пе1'П,'<ЙТ. (2.3.23)
m
Коэффициент b (т) также разложим в кратный ряд Фурье
b(i)=ZfneinQ\ (2.3.24)
П
Подставляя (2.3.23), (2.3.24) в (2.3.22), получаем <7(0= ? djn [-.X + i
[(т-ю + л<?2)]-гх
Ш, П •----------------------- '
D
X exp [(tm-to + n-Q) t]\. (2.3.25)
Так как
| D | > | Re (Я) |>0, (2,3.26)
кратный ряд Фурье (2.3.25) сходится, если ряды (2.3.23) и (2.3.24)
сходятся абсолютно. (Из квазипериодичности, как мы ее здесь понимаем,
следует, что ряд Фурье сходится абсолютно.) Но тогда ряд Фурье (2.3.25)
также сходится абсолютно. Отсюда и из общего вида (2.3.25) мы заключаем,
что q (t) - квазипериодическая функция с основными частотами оэх, . . . ,
<вм, ?2Ь . . . , ?2#. Так как Re {Я} <Г0, решение однородного уравнения
стремится к нулю при t -*¦ оо, и временное поведение решения q (()
неоднородного уравнения (2.3.1) при больших t определяется рассмотренным
нами частным решением однородного уравнения, т. е.
q(t) - квазипериодическая функция с основными
частотами сох, . . . , сом, ?2Х.......?2^. (2.3.27)
2.4. Общие теоремы об алгебраических и дифференциальных уравнениях
2.4.1. Вид уравнений
В этом разделе мы займемся повторением некоторых общих теорем алгебры и
теории линейных дифференциальных уравнений. Излагая их, мы преследуем
следующую цель. В дальнейшем нам придется заниматься рассмотрением систем
обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида
Яг (0 - апЯг (0 + аггЯъ (0 + • . . + Ят9л (0>
??2 (0 = &ггЯг (0 (0 + • • • + пЯп (0,
(2.4.1)
9л (0 - #ni<7i (0 4- ^n2?2 (0 4* • • • "Ь Q-ппЯп (0*
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 107
Неизвестные здесь q,-, коэффициенты а** предполагаются заданными. Они
могут быть постоянными или функциями, зависящими от времени, различных
типов, о которых пойдет речь в дальнейшем. Система уравнений (2.4.1)
допускает компактную запись в матричных обозначениях:
Представим себе, что нас пока не интересует временная зависимость
элементов матрицы L, т. е. будем считать их постоянными или равными
значению, принимаемому при заданном t. Рассмотрим квадратную матрицу L
вида (2.4.4).
Максимальное число линейно независимых строк (или, что эквивалентно,
столбцов) матрицы L называется рангом матрицы и обозначается Rk [L\.
Квадратная матрица L из п строк называется невырожденной, если 'Rk {L} =
п.
Две квадратные матрицы L и L из п строк каждая называются подобными, если
существует невырожденная матрица S, такая,
мулируем следующую важную теорему о жордановой нормальной форме.
Каждая квадратная матрица L с комплексными элементами подобна некоторой
нормальной матрице вида
q(0 = Lq (О,
где под вектором q (/) понимается вектор
/ <7i Л
(2.4.2)
(2.4.3)
а под матрицей L - матрица
/ йц . . . й1га Л
(2.4.4)
2.4.2. Жорданова нормальная форма
что L = S~lLS. Напомнив кратко эти простые определения, сфор
(2.4.5)
| J
Квадратные подматрицы (блоки), стоящие на диагонали нормальной
108
Глава 2
матрицы, однозначно с точностью до перестановки определяются матрицей L.
Блоки Ар устроены так:
р., 1 о 1
Ар 1 !
. (2.4.6)
где - собственное значение матрицы L.
Теорему о жордановой нормальной форме можно сформулировать и без
введенных выше определений, например, следующим образом: для каждой
квадратной матрицы L с комплексными элементами найдется невырожденная
матрица S, такая, что
L = S-1LS, (2.4.7)
где L - матрица вида (2.4.5). Так как матрица S невырождена, ее
определитель отличен от нуля, поэтому S-1 существует.
2.4.3. Некоторые общие теоремы о линейных дифференциальных уравнениях
Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение (2.4.2) (называемое также
дифференциальной системой), где
L (0 = (ац (0) (2-4.8)
- комплекснозначная матрица п X л, элементы которой ац - непрерывные
функции переменной t, определенные на интервале /,
- оо-<ос t < р<;оо. (2.4.9)
Решение уравнения (2.4.2) есть комплексный вектор-столбец q (t) 6 Еп (Еп:
л-мерное комплексное векторное пространство), дифференцируемый и
удовлетворяющий дифференциальной системе при любом t е /. Теория линейных
дифференциальных уравнений утверждает: для любого t0 6 I и любого
вектора-столбца q0 ? Еп существует единственное решение q (t), такое, что
Ч (*") = Яо-
Решения уравнения dq/dt = L (t) q образуют л-мерное комплексное линейное
векторное пространство (рис. 2.4.1). Иначе говоря,
существуют п линейно независимых решений уравнения (2.4.2)?
которые можно обозначить q(1> (t), q(2) (i), . . . , q(n) (t). Любое
решение q (t) уравнения (2.4.2) представимо в виде линейной комбинации
Я (0 = ? И'Я01 (0.
У= 1
(2.4.10)
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
109
где коэффициенты с,- не зависят от времени. Линейно независимые решения
