Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
образуют группу. Кроме того, из (2.2.11) видно, что число а и его степени
можно поставить в соответствие операторам левой части (2.2.11). Это
соответствие оказывается следующим:
Т а, Тп^ а",
Т-1 -v аГ\ Т~п а~п, (2.2.16)
Г° = ?-^а° = 1.
Соотношения (2.2.16) - один из простейших примеров представления группы.
В основе представления (2.2.16) лежит решение q и числа а",
соответствующие операторам Тп, так, что ап подчиняются тем же правилам,
которые следуют для оператолов Тп из
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
103
аксиом группы (1) - (4), т. е.
ТпТт = Тп+т aV = ап+т,
ТпЕ = Т'1 an • 1 = а", (2.2.17)
Т-пТп = Е^аГпа1= 1,
) тг = г (Ттгг) аг = а"
Как мы увидим из дальнейшего, введенные нами понятия дояу-скают
существенные обобщения и находят важные приложения.
2.3. Системы с вынуждающей силой
Рассмотрим неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка
q(t) = a(t)q(t) + b(t). (2.3.1)
Как и прежде, мы хотим познакомиться с общими свойствами такого
уравнения. Начнем с случая, когда а == 0, и (2.3.1) сводится
к уравнению
q = b (2.3.2)
с решением
*
q{t) = J Ь (т) dr + с, (2.3.3)
где с - постоянная, определяемая из начального условия
<7 (*о) = <7о:
с=<7(*0). (2-3.4)
К интегралу в (2.3.3) применимы все те соображения, которые были развиты
в разд. 2.1.1-2.1.3 по поводу интеграла, входящего, например, в (2.1.7).
Если коэффициент b (t) постоянный, или периодический, то
q(t) = b0t + v(t), (2.3.5)
где v (t) - соответственно постоянная или периодическая функция. Если
коэффициент b (t) квазипериодический, то можно доказать, что v (t) также
квазипери одическая функция (для этого должно выполняться условие КАМ и
должны достаточно быстро сходиться коэффициенты ряда Фурье функции v
(t) (см. разд. 2.1.3)).
Обратимся теперь к общему случаю уравнения (2.3.1), когда
коэффициент а (t) не равен тождественно нулю. Будем искать решение
уравнения (2.3.1) в виде
q(f) = Qo(f)c(f), (2.3.6)
104
Глава 2
где q0 (t) по предположению есть решение однородного уравнения
q0(t) = a(t)q0(t), (2.3.7)
а с (t) - пока не известная функция, которая была бы постоянной, если бы
мы решали однородное уравнение (2.3.7).
Подставляя (2.3.6) в (2.3.7), получаем
q0c + q"c = aq0c+ b, (2.3.8)
или с учетом (2.3.7)
c = qol(t)b(t). (2.3.9)
Уравнение (2.3.9) легко интегрируется:
t
с (t) - | q^1 (т) b(T)dr + a. (2.3.10)
Наша главная цель состоит в том, чтобы выяснить, какие типы решений
уравнения (2.3.1) возникают при определенных типах зависимости a (i) и b
{t) от времени. Подставляя (2.3.10) в (2.3.6) получаем общий вид решения
уравнения (2.3.1):
<7(0 = <7o(0f q^Wb(i)d.T + aq0(t). (2.3.11)
to
Рассмотрим сначала пример. Пусть
а = Х = const Ф 0, | b = const.
В этом случае
(2.3.12)
t
q(t) = f ем<"т)Мт + сее", (2.3.13
to
или после интегрирования
' ~ X
q(t) = - 4- +Ре" (2.3.И)
где
Р = а+- е~и°- (2.3.15)
При 2il>0 асимптотическое поведение (t оо) решения (2.3.14) определяется
в основном экспоненциальной функцией, и решение расходится, если только
коэффициент f> не равен нулю, в нуль же он может обратиться лишь при
специально выбранном начальном условии. При Я<Г0 асимптотическое
поведение решения (2.3.14) определяется первым членом, т. е. q (t)
стремится к постоянной
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 105
-b/К. То же решение можно и непосредственно найти, подставляя
Полное зависящее от времени решение (2.3.14) называется переходным к
стационарному решению (2.3.16). Случай К - 0 возвращает нас к уже
рассмотренному решению (2.3.5).
В общем случае решение неоднородного уравнения (2.3.1) представимо в виде
суммы частного решения неоднородного уравнения (в нашем примере - решения
(2.3.16) и общего решения однородного уравнения (в нашем примере это |3
ехр (Kt), где |3 - произвольная постоянная). Значение постоянной можно
фиксировать, например, задав начальное значение q (t).
Будем теперь считать коэффициенты a (t) и b (t) постоянными,
периодическими или квазипериодическими. Если коэффициенты
квазипериодические, то, имея в виду практические приложения, будем
считать, что условие КАМ выполнено и ряд Фурье функции а (t) сходится
достаточно быстро; тогда решение однородного уравнения (2.3.7) имеет вид
где и (0 - постоянная, периодическая или квазипериодическая функция. Из
явного вида и (/) и ограниченности квазипериодиче-ской функции под
экспонентой в (2.3.17) мы заключаем, что |и| ограничен. Следовательно,
для и (t) существует обратная функция.
Рассмотрим сначала частное решение неоднородного уравнения
(2.3.1), которое с помощью (2.3.11) и (2.3.17) можно представить в виде
<7 = 0 в (2.3.1):
q = -ЫК.
(2.3.16)
q0(t) = eUu(t),
(2.3.17)
q (/) - eKtu (t) I e-txu~1(x)b(x)dx. (2.3.18)
to
В дальнейшем мы рассмотрим случай
Re(4<0,
(2.3.19)
позволяющий выбрать
to ->¦ - оо.
Произведя замену переменной интегрирования
Т = т'-И,
преобразуем (2.3.18) к виду
(2.3.21)
(2.3.20)
о
q(t) = u(t) j е и и 1 (т + 0 Ь (т +1) dr'
