Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
т. е.
Ясл (^ + ^о) = ОДст (0- (2.2.6)
Покажем, что соотношение (2.2.6) позволяет построить решение уравнения
(2.2.1). Для этого введем оператор сдвига Т, определив его следующим
образом. Однократное применение оператора Т к функции f приводит к замене
t в аргументе функции f на t + t0:
Tf(t) = f(t + t0). (2.2.7)
Пользуясь свойством инвариантности (2.2.3), находим
Ta(t)q (t) = a(t + t0)q(t +10) = a(t)Tq (t). (2.2.8)
Так как это соотношение выполняется при произвольной q (t),
(2.2.8) можно представить в виде
Та (t) = a (t) Т, (2.2.9)
т. е. Т коммутирует с а (/). Уравнение (2.2.6) запишем в виде
Tq - aq. (2.2.10)
Оно означает, что q - собственная функция оператора сдвига Т,
соответствующая собственному значению а, и следует из инвариантности
уравнения (2.2.1) относительно Т. Оператор Т позволяет нам объяснить, что
такое "группа".
До сих пор мы связывали оператор Т со сдвигом t t + t0, так что Та (t) =
a (t + ^0). При п сдвигах мы заменим t на t Д- nt0, так что a (t) a (t +
nt0). Такой сдвиг порождает п-кратное действие оператора Т на а (/),
которое можно записать как Тп : Тп а (t) = = a (t + nt0). Разумеется,
сдвиг можно производить и в обратном направлении: t -> t-10. Ему
соответствует "обратный" оператор Г-1, такой, что T~la (t) - a (t-^0).
Наконец, t может оставаться без изменений. Сдвигу на t0 = 0 мы поставим в
соответствие оператор Т° : Т°а (t) - a (t). Он имеет специальное
обозначение, Т° = Е и называется тождественным, или единичным,
оператором.
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
101
Все рассмотренные нами операции можно свести в таблицу (n>0 - целые
числа):
Сдвиг Оператор Действие оператора
о + t T Ta(t) = a (t + t0)
t t -р nt0 rptl Tea (t) = a(t + nt0)
t^t - to T-1 T-'a(t) = a(t-t0)
t 1 - nt0 rji П T~na (t) = a(t - nt0)
t^t - ? T°a (0 = a (t)
Операции Тп (л<0, п = 0, п>0) образуют (мультипликативную) группу, так
как удовлетворяют следующим аксиомам (каждая из операций Т'1 при любом
заданном п является элементом группы).
1) Умножив любые два элемента (образовав их композицию), мы получим новый
элемент того же множества. Действительно, 'рп 'рт __ jti+m -новый элемент
множества сдвигов, так как выполнив сначала сдвиг на nt0, а затем сдвиг
на mt0, мы получим новый сдвиг на (п + т) t0.
2) Существует (правый) единичный оператор Е, такой, что Тп-Е = Тп.
3) Для каждого элемента Тп существует (левый) обратный элемент Т~~п,
такой, что т~п-Тп = Е.
4) Групповое умножение ассоциативно: (TnTm) Tl = Тп (ТШТ1).
Выполнимость аксиом 1-4 для операторов Тп очевидна, так
как все соотношения без труда проверяются с помощью известных свойств
сдвигов t -> t + ni0. Убедившись после проверки, что операторы образуют
группу, мы получаем возможность применять множество весьма ценных теорем
и в дальнейшем воспользуемся некоторыми из них. Поскольку не существенно,
произведем ли мы сначала п сдвигов на t0 : t-> t + nt0, а затем m
сдвигов, или сначала m, а затем п сдвигов, справедливо соотношение TnTm =
ттТп. Иначе говоря, любые два элемента нашей группы коммутируют. Группы,
любые два элемента которых коммутируют, называются абелевыми. Так как все
элементы рассматриваемой нами группы - (положительные и отрицательные)
степени оператора Т, мы называем Т генератором группы.
Построение решения с помощью соотношения [2.2.10]. Покажем, как с помощью
соотношения (2.2.10) можно построить решение дифференциального уравнения
(2.2.1). После л-кратного действия оператора Т на (2.2.10), используя
(2.2.10), получаем
Tnq(t) = anq(t).
(2.2.11)
102
Глава 2
Поскольку действие оператора Тп сводится к л-кратной замене t на t + t0,
(2.2.11) можно представить в виде
q(iJt-nt0) = anq(t). (2.2.12)
Это - уравнение для q (t). Чтобы решить его, положим
q (t) - еии (t), (2.2.13)
где и (t) - пока произвольная функция.' Подставляя (2.2.13) в
(2.2.12), получаем
enU°u(t + nt0) = anu(t). (2.2.14)
Полагая а = ехр (Х/0), приходим к соотношению
u(t + nt0) = u(t). (2.2.15)
Из (2.2.15) следует, что и (i) - периодическая функция аргумента t. Итак,
мы снова получили общий вид решения уравнения (2.1.6) с периодическим
коэффициентом, не решая непосредственно само дифференциальное уравнение.
Если коэффициент а (t) инвариантен относительно Т при любом tQ, то, как
нетрудно убедиться, функция и (t) должна быть постоянной. Рассмотренный
нами пример позволил нам познакомиться с несколькими важными понятиями. В
дальнейшем мы воспользуемся ими в более сложных случаях. Первое из этих
понятий - инвариантность. Оно выражено соотношением (2.2.9), вытекающим
из того, что коэффициент а (/) остается неизменным под действием
преобразования Т. Общий вид решения (2.2.13) нам удалось вывести,
используя два факта:
1) решение уравнения (2.2.1) единственно с точностью до постоянного
множителя;
2) дифференциальное уравнение (2.2.1) инвариантно относительно некоторой
операции, представляемой оператором Т.
Затем мы показали, что q - собственная функция оператора Т. Операторы Тп
