Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 26

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 152 >> Следующая

(светлый кружок).
нию шарика в первом и во втором случаях. Если потенциальная кривая имеет
один минимум, мы получаем поток, представленный на рис. 1.13.3. Если же
потенциальная кривая имеет два минимума,
Рис. 1.13.5. Траектории, Рис. 1.13.6. Два устойчивых
заканчивающиеся в узле, узла и один неустойчивый.
то движению шарика соответствует поток, представленный на рис. 1.13.4.
Происходящий при деформации потенциальной кривой переход от одного
аттрактора к двум аттракторам не требует пояснений: он вполне понятен из
рис. 1.13.5 и 1.13.6. Попутно заметим, что из рис. 1.13.2 понятно, какую
важную роль играют флуктуации: если шарик первоначально находится при q -
0, то свалится ли он в правую или в левую ямку, зависит всецело от
флуктуаций.
Переходы от рис. 1.13.3 к рис. 1.13.4 или от рис. 1.13.5 к рис. 1.13.6 от
примера с двумя видами рыб отличает следующее. Представим себе, что одна
из рыб нарисована на резиновой пленке. Тогда от изображения ежа-рыбы к
изображению луны-рыбы (или наоборот) мы можем перейти непрерывно, только
растягивая или сжимая резиновую пленку. Однако рис. 1.13.5 никаким
способом нельзя перевести к рис. 1.13.6 только с помощью растяжения и
60
Глава /
сжатия, как это сделано с потоками на рис. 1.13.7. Иначе говоря, между
линиями тока одного потока и линиями тока другого потока не существует
взаимнооднозначного соответствия (рис. 1.13.8). С математической точки
зрения мы будем понимать под "структурной неустойчивостью" или
"структурными изменениями" такие ситуации, в которых взаимно однозначное
соответствие становится невозможным.
Обсудим теперь кратко, как проверить, приводит ли изменение параметра
управления к структурной неустойчивости. В дальнейшем мы рассмотрим эту
проблему более подробно. Продемонстри-
Рис. 1.13.7. Между этими двумя по- Рис. 1.13.8. Между этими двумя
потоками можно установить взаимно токами невозможно установить вза-
однозначное отображение. имно однозначное отображение.
руем основной метод на простом примере. Уравнение, которое описывает
соскальзывание шарика по стенке вазы, имеет вид
q=-aq-\k\q3. (1.13-1)
При a>0 уравнение (1.13.1) допускает решение q = 0; то же q = 0 остается
решением и при а<0. Взглянув на рис. 1.13.2, мы сразу же заметим, что
положение q = 0 при а<0 неустойчиво. Однако во многих случаях,
представляющих практический интерес, мы можем не опираться на
существование потенциальной кривой (например, такой, как показано на рис.
1.13.2), а использовать другой подход - анализ устойчивости по линейному
приближению. Введем для этого небольшое зависящее от времени возмущение и
и запишем решение q уравнения (1.13.1) в виде
q = q0-\-u = u. (1.13.2)
Подставляя (1.13.2) в (1.13.1) и удерживая только линейные члены, мы
получаем уравнение (при а<0)
и = j а | и,
дающее решение
u(t) = u (0) e'"u-
(1.13.3)
(1.13.4)
Введение
61
Так как \а\ = -а>0, и (t) возрастает экспоненциально. Это свидетельствует
о том, что состояние q0 = О неустойчиво. В гл. 2 и 3 мы изложим анализ
устойчивости по линейному приближению в общем виде. В частности, мы
рассмотрим случай, когда неустойчивым становится не только константа-
решение q0, но и движение по предельному циклу или по тору. Последняя
проблема приводит нас в весьма странную область квазипериодических
движений, где было сделано еще больше открытий (в число которых вносит
свой вклад и эта книга). После того как анализ устойчивости произведен,
возникает очередной вопрос: в какие новые состояния перейдет система. При
ответе на него для синергетики наибольшее значение имеют два понятия:
параметр порядка и принцип подчинения. Для того чтобы пояснить их,
рассмотрим два дифференциальных уравнения
<7i = ^i<7i ЯгЦъ (1.13.5)
Чг= (1.13.6)
Уравнения такого типа встречаются в ряде наук, например в химии.
Уравнение (1.13.5) описывает автокаталитическое производство вещества 1,
присутствующего в концентрации qt (член А^), и расход вещества 1,
вызванный взаимодействием его молекул с молекулами вещества 2, которое
имеется в концентрации q2
(член -q1q2)- Уравнение (1.13.6) описывает спонтанный распад
молекул вещества 2 (член -А2<72) и производство вещества 2 из молекул
вещества 1 в результате бимолекулярной реакции (член q\). Для анализа
математических свойств системы физический смысл членов, разумеется, не
имеет значения, поэтому мы сосредоточим внимание на ее математических
особенностях. Предположим, что коэффициент Ах очень мал или чуть больше
нуля. Тогда если величины q1 и q2 малы (что позволяет пренебречь в первом
приближении квадратичным членом), то ql изменяется очень медленно. Как
видно из (1.13.6), прирост q2 обеспечивается членом q\, а поскольку q1
изменяется очень медленно, можно ожидать, что и q2 изменяется очень
медленно. Если коэффициент Я2 положителен и много больше А2, то q2 можно
пренебречь по сравнению с А2<72. Более подробно полученный результат
выведен в [1]. Полагая
<7*2 ~ 0, (1.13.7)
мы можем сразу же решить уравнение (1.13.6):
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed