Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Траектории странного аттрактора могут порождаться (при надлежащем выборе
параметров) очень простыми дифференциальными уравнениями. Простейший из
известных примеров - аттрактор Рёсслера. Его дифференциальные уравнения
содержат лишь одну нелинейность и имеют вид
-у-
(1.12.8)
у = х + ау,
Z = Ь +2 (х - с),
(1.12.9)
(1.1.2.10)
Введение
57
где а, Ъ, с - постоянные параметры. На рис. 1.12.22 показано, как
выглядит такой аттрактор.
Еще один пример простого (исторически более раннего) аттрактора-аттрактор
Лоренца. Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид
где ст, Ь, г - постоянные параметры. Эта модель была предложена для
конвективной неустойчивости в гидродинамике. Одномодовый лазер
описывается уравнениями, эквивалентными уравнениям Лоренца. Общий вид
(модифицированного) аттрактора Лоренца показан на рис. 1.12.23.
Модификация состоит во включении аддитивного параметра а в правую часть
уравнения (1.12.11).
1.13. Качественные изменения: общий подход
Общее обсуждение нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в
частных производных (1.11.13) лишено смысла, поскольку такие уравнения
охватывают необычайно широкий, по-истине необъятный круг явлений. С
другой стороны, в синергетике нас интересуют общие свойства сложных
систем. Мы можем существенно продвинуться к поставленной цели,
сосредоточив внимание на тех ситуациях, в которых макроскопическое
поведение системы изменяется резко. Попробуем придать этой идее
математический вид. Обсудим для этого на одном примере из биологии
понятие структурной устойчивости.
На рис. 1.13.1 изображены рыбы двух различных видов: еж-рыба и луна-рыба.
Как показал в начале XX в. д'Арси Вентворт Томпсон, любой из этих двух
видов рыб переходит в другой вид под действием простого преобразования
сетки. В то время как с биологической точки зрения такое преобразование
сетки представляет собой весьма интересное явление, с точки зрения
математики мы имеем здесь дело с примером структурной устойчивости 1).
1 Понятие структурной устойчивости, по-видимому, играет в биологии
фундаментальную роль в более глубоком смысле, чем в образовании различных
видов при деформации сетки (рис. 1.13.1). Насколько можно судить, в
пределах вида организмы обладают четко выраженной инвариантностью функций
относительно пространственных или временных деформаций. Это иногда
затрудняет выполнение точных (и воспроизводимых) физических измерений на
биологических объектах. Вероятнее всего, в таких случаях необходимо
искать группы преобразований, относительно которых остается инвариантной
функция органа (или животного). Свойством инвариантности, по-видимому,
обладает даже самый сложный орган - человеческий мозг. Именно это
свойство позволяет нам распознавать, например, букву а, даже
Х = о(у - X),
У = х(г-г) - у, г = ху-Ьг,
(1.12.11)
(1.12.12)
(1.12.13)
58
Глава I
Рис. 1.13.1. Простым преобразованием сетки ежа-рыбу (слева) можно
превратить в луну-рыбу (справа), и наоборот. [Из книги: Thompson,
D'Arcy, On Growth and Form/Ed. by J. T. Bonner. - Cambridge: Uni-
versity Press, 1981.]
С точки зрения математика еж-рыба не отли има от луны-рыбы (и наоборот).
Каждый из этих двух видов представляет собой лишь деформированную копию
другого. Плавник при деформации переходит в плавник, глаз - в глаз и т.
д. Иначе говоря, качественно новых анатомических (и прочих) особенностей,
например нового плавника, при деформации не возникает. В дальнейшем нас
будут интересовать структурные изменения (в самом широком смысле). В
отличие от примера с двумя видами рыб (рис. 1.13.1) нам придется
рассматривать не статические структуры, а структуры, образуемые
траекториями, т. е. потоки, с которыми мы познакомились в предыдущем
разделе. Как известно, системой можно управлять извне-в математической
форме этому соответствует изменение соответствующих управляющих
параметров. Покажем, что даже при небольших изменениях управляющего
параметра свойства системы могут изменяться весьма значительно. В [1]был
приведен простой пример такого поведения. Представим себе шарик, который
сос-
если она сильно деформирована. Способности распознавать в широких
пределах деформированные знаки мы обязаны искусству каллиграфии,
получившему распространение в Китае (и в старой Европе).
положение шар ика в вазах двух типов (сечение одной вазы показано
сплошной линией, сечение другой - штриховой).
Введение
59
кальзывает по стенке вазы. Если ваза имеет форму, показанную на рис.
1.13.2 штриховой линией, то шарик в конце концов остановится в точке q =
0. Но если ваза деформирована так, как показано сплошной линией, то шарик
остановится либо при q = + а, либо при q = - а. Нетрудно начертить поток,
отвечающий движе-
' - q > а
Рис. 1.13.3. Одномерное движение шарика с координатой <7, заканчивающееся
в одной устойчивой точке.
Рис. 1.13.4. Одномерное движение шарика, заканчивающееся в двух точках
устойчивого равновесия (черные кружки) и в одной неустойчивой точке
