Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
таким свойством траектории, называются притя-
Рис. 1.12.21. Устойчивое и неустойчивое многообразия предельного цикла.
Попав на устойчивый предельный цикл, вектор q (t), описывающий эволюцию
системы, остается там навсегда. В этом случае мы называем предельный цикл
инвариантным многообразием потому, что такое многообразие (предельный
цикл) остается неизменным при движении. Оно инвариантно относительно
эволюции во времени. Такое определение инвариантного многообразия
применимо и к многообразиям всех других типов.
Еще одно важное понятие знакомит нас с устойчивым и неустойчивым
многообразием. Поясним кроющиеся за ним идеи на примерах. На рис. 1.12.20
показаны устойчивое и неустойчивое много-
Введение
55
образия для особой точки типа "седло на плоскости". Под устойчивым
многообразием (особой точки) мы понимаем множество всех точек, которые
являются начальными точками траекторий, заканчивающихся при t -у + оо в
данной особой точке. В нашем примере видно, что устойчивое многообразие
имеет размерность вещественной прямой. Так происходит потому, что все
траектории, выходящие из достаточно малой окрестности устойчивого
многообразия, пройдут на конечном расстоянии от седла и затем отклонятся
в сторону от него. Под неустойчивым многообразием (особой точки) мы
понимаем множество начальных траекторий, заканчивающихся в пределе при t
- оо в данной особой точке. Подчеркнем, что оба типа многообразий -
устойчивое и неустойчивое - обладают свойствами инвариантного
многообразия. Рассмотрим еще один пример (рис. 1.12.21): устойчивое и
неустойчивое многообразия предельного цикла погружены в трехмерное
евклидово пространство. Эти многообразия построены локально по
линеаризованным уравнениям движения. Вернемся еще раз к примеру с седлом
(рис. 1.12.20). Обозначив через q = (qu q2) отклонение от седла, мы
получим систему уравнений
где а, у>0 и N/ (/ = 1,2) - нелинейные функции от q-,. Ограничиваясь
малыми отклонениями <77, мы можем спокойно пренебречь нелинейными членами
в Nj, имеющими по предположению порядок О (\q\2). Произведя
соответствующие упрощения, заметим, что малые возмущения qг
экспоненциально возрастают со временем. Это означает, что направление qу
- касательная к неустойчивому многообразию седла. Наоборот, малые
возмущения q2 экспоненциально затухают со временем. Это означает, что
направление q2 - касательная к устойчивому многообразию седла.
В общем случае могут существовать направления третьего типа, по которым
возмущения не возрастают и не затухают, т. е. ведут себя нейтрально.
Нейтральные направления - касательные к так называемому центральному
многообразию. Примером может служить предельный цикл на рис. 1.12.21.
Ясно, что возмущение, касательное к такому предельному циклу, не может со
временем ни возрастать, ни затухать. Заметим, что в случае седла (рис.
1.12.20) центральное многообразие вырождается в точку.
Сравнительно недавно выяснилось, что могут существовать аттракторы, не
являющиеся многообразиями. Такие аттракторы получили название "странных",
или "хаотических", аттракторов. Считаем своим долгом предупредить
читателя о некоторых математических тонкостях. Понятие "странный
аттрактор" в настоящее время применяется главным образом в тех случаях,
когда выпол-
qi = aq1 + N1{q1, q2), Яг---yq2JrN2(q1, q2),
(1.12.6)
(1.12.7)
56
Глава 1
няются определенные математические аксиомы. Неизвестно (по крайней мере
пока), существуют ли в природе системы, удовлетворяющие этим аксиомам. Мы
будем понимать термин "странный аттрактор" не столь узко. Попав в область
странного аттрактора, вектор q (t) остается в ней навсегда. Но траектория
q (t) не лежит на многообразии. Вектор q (t) напоминает скорее иглу,
которой мы вновь
Рис. 1.12.23. Стереоизображение (модифицированного) аттрактора Лоренца.
Значения параметров: а = 2,2; а = 4; г = 80; Ь = 8/3; * (0) = 5,1; у (0)
= - 13,72; г (0)=-= = 52. Переменная х изменяется от -50 до +50,
переменная у - от -70 до + 70, переменная г - от 0 до 14. [Из работы:
Rossler О.
Е.- In: Synergetics, A Workshop/ Ed. by H. Haken. Springer Series in
Synergetics, vol. 2.- Berlin, Heidelberg, New York, 1977, p. 184.]
Рис. 1.12.22. Стереоизображение [аттрактора Рёсслера. Для получения
объемного изображения поставьте лист бумаги перпендикулярно плоскости
страницы и рассматривайте левый график левым глазом, а правый - правым.
Подберите такое положение головы, при котором два плоскостных изображения
сольются в одно объемное. Значения параметров: а = b = 0,2; с = 5,7; х
(0) --= у (0) = - 0,7; г (0) = 1. Переменные х и у изменяются от -14 до +
14, переменная г - от 0 до 28.
[Из работы: Rossler О. Е.- In: Synergetics, A Workshop/Ed. by Н. и
вновь протыкаем клубок ни-
Haken. Springer Series in Synerge- ток. Странные аттракторы
tics, vol. 2.- Berlin, Heidelberg, r в и
New York: Springer, 1977, p. 184. j встречаются В пространствах
трех и большего числа измере-
ний. Примеры таких аттракторов представлены на рис. 1.12.22 и 1.12.23.
