Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Разумеется, в общем случае предельные циклы отнюдь не об-зательно должны
быть окружностями, они могут быть замкнутыми орбитами, движение по
которым повторяется с периодом Т =
= 2зт/со (со - частота). Если q существует, то такая орбита также
является дифференцируемым многообразием. В одномерном случае
периодическое движение описывается рядом Фурье
q1((>)t)= YjCnelnat, п-целые числа, (1.12.1)
в т-мерном случае q (соt) =
его аналогом
Г1 " Jnat
L спе 1
-целые числа,
(1.12.2)
где вектор сп имеет т компонент
Введение
51
Рис. 1.12.13. Предельный цикл в трехмерном пространстве.
Еще один пример предельного цикла представлен на рис. 1.12.13, который
надлежит рассматривать в пространстве размерности 3 и выше. Примером
многообразия может служить тор (рис. 1.12.14). В этом случае между каждым
элементом поверхности и элементом плоскости можно установить взаимно
однозначное соответствие, сопоставив каждой точке элемента тора точку
элемента плоскости, и наоборот. Тор можно полностью покрыть элементами,
которые частично налегают один на другой.
При адекватной "сборке" элементов на плоскости получается квадрат (рис.
1.12.15). Склеив противоположные стороны квадрата, мы превратим его в
трубу, а согнув трубу в кольцо и склеив концы, получим тор. Ясно поэтому,
что каждую точку тора можно описывать в системе координат cplt ср2. Так
как касательная плоскость к тору существует в каждой точке (фх, ф2)> Т0Р
- дифференцируемое многообразие. Двумерные торы и их аналоги -
многомерные
ТОрЬ1 - позволяют адекватным образом наглядно представить себе
квазипериодические движения, которые происходят с несколькими частотами.
Примером может служить движение Q = sin (<T>iO sin (СО20,
ф 1 фг
(1.12.3)
или, в более общем случае,
q^coiC jaJ). (1.12.4)
Ф, Фа
Вектор q допускает разложение в кратный ряд Фурье вида
Ч=?спе'п-"', (1.12.5)
где п-со = /21со1 + /г2со2 -Ь - -...+nNcoN, Ц/- целые числа Заполняет ли
вектор-функция
(1.12.4) тор полностью или нет зависит от отношения частот. Если
отношения частот рациональны то траектории образуют только отдельные
линии на торе. В этом нетрудно убедиться, взглянув на рис. 1.12.16, где
со2 : toL = 3 : 2 Какую бы начальную точку мы ни выбрали, она окажется на
одной и той же замкнутой траектории на квадрате (см. подпись к рис.
1.12.16), которой соответствует замкнутая траектория на торе.
Рис. 1.12.14. Двумерный тор в трехмерном пространстве.
52
Глава 1
Примерами периодического движения по замкнутым траекториям могут служить
также движения с со2 : он = 1 : 4 и со2 : coj = = 5:1 (рис. 1.12.17 и
1.12.18). С другой стороны, если отношение
Рис. 1.12.15. Двумерный тор с локальными координатами фх и ф2 может быть
взаимно однозначно отображен на квадрат (показанный слева).
частот иррационально (например, если со2 : = я : 1), то
траек-
тория заполняет весь квадрат, или, что то же, весь тор (рис. 1.12.19),
поскольку со временем подходит сколь угодно близко к любой заданной точке
тора. (В этом случае говорят, что траектория образует всюду плотную
обмотку тора.) Эти соображения без труда
Рис. 1.12.16. Траектория на плоскости и ее образ па торе при w2 : w1 = 3
: 2. Траектория выходит из начальной точки фх = 0, ф2 = 0. Условие
периодичности позволяет нам продолжать ее после того, как она достигнет
уровня ф2 = 2я, проектируя ее на ось ф2 = 0 (вертикальные штриховые
линии). После того как траектория достигнет точки фх = 2я, ф2 = я, мы,
пользуясь периодичностью, проектируем ее в точку фг = 0, ф2 = я
(горизонтальная штриховая линия), откуда она продолжается дальше
(сплошная линия). В результате построения мы получаем замкнутую линию
(противоположные края квадрата попарно отождествлены).
Введение
53
Рис. 1.12.17. Траектория на плоскости и ее образ на торе при : со2=
= 1:4.
Рис. 1.12.18. Траектория на плоскости и ее образ на торе при со2 : и,
= 5:1.
Рис. 1.12.19. Траектория на плоскости и ее образ на торе при
иррациональном отношении частот: ш2 '¦ мх = л : 1. Ни траектория на
плоскости <рх, Ф2, ни ее образ на торе не замыкаются и заполняют всю
плоскость и весь тор. Мы показываем лишь несколько первых витков
траектории, поскольку в противном случае она заполнила бы весь квадрат, а
ее образ - весь тор.
54
Глава 1
обобщаются на торы в многомерных пространствах, которые можно отобразить
на кубы с координатамифц ф2, . . . , фло 0 < ф/< 2п. По-видимому, два
приведенных нами явных примера (дифференцируемых) многообразий (окру-
/ Устойчивое , r \r~j
многообразие
Неусглой чивое
Рис. 1.12.20. Устойчивое и неустойчивое многообразия седла (см. текст).
"притягивать" достаточно гивающими.
жность и тор) достаточно ясно показывают, что такое (дифференцируемое)
многообразие. (Абстрактное определение читатель найдет в литературе,
приведенной в конце книги.) В рассмотренном выше примере устойчивого
предельного цикла все траектории, начинавшиеся в окрестности предельного
цикла (многообразии), заканчивались на нем. Многообразия, обладающие
