Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
вертикально стоящего лезвия бритвы, дальнейшая траектория шарика весьма
сильно зависит от его положения относительно острия перед тем, как он
ударится о лезвие. Вся индустрия игральных автоматов зависит от подобных
явлений.
Если влияние флуктуаций на систему учитывается флуктуирующей силой такого
типа, как в (1.11.7), то мы говорим об аддитивном шуме. Случайно
флуктуирующая окружающая среда может порождать также шумы других типов.
Например, скорость роста в (1.11.1) может флуктуировать. В этом случае мы
получаем уравнение
q=a(t)q (1.11.8)
и говорим о мультипликативном шуме.
Введение
45
1.11.6. Многокомпонентность и мезоскопический подход
До сих пор мы обсуждали главные "блоки" тех уравнений, которые
понадобятся нам в дальнейшем. Настала пора учесть, наконец, такую
особенность синергетических систем, как то, что все они состоят из очень
большого числа подсистем. Следовательно, в описание синергетических
систем должно входить много переменных, которые мы обозначим qlt q2, ...
, qn. Поскольку значения этих переменных при заданном t (времени)
описывают состояние системы, условимся называть qlt q2, . . . , qn
"переменными состояния". Все переменные qx, q2, . . . , qn можно
объединить в вектор состояния q:
(Яъ Яг, • • ¦ , Яп) = Я- (1.11.9)
Для практических целей важен адекватный выбор переменных q. Необходимо
различать для этого микроскопический, мезоскопический и макроскопический
уровни описания. Рассмотрим в качестве примера жидкость. В соответствии с
нашим пониманием этих терминов на микроскопическом уровне мы
рассматриваем отдельные атомы и молекулы, описываемые заданием их
положений, скоростей и взаимодействий. На мезоскопическом уровне мы
описываем жидкость как ансамбль, состоящий из многих атомов и молекул.
Протяженность такого ансамбля по предположению велика по сравнению с
междуатомными расстояниями, но мала по сравнению с характерными размерами
возникающих макроскопических структур, например по сравнению с
шестиугольниками в неустойчивости Бе-нара. При мезоскопическом описании
переменные qt относятся к ансамблям атомов или молекул. В случае жидкости
д,- можно отождествить с плотностью и средней локальной скоростью. При
образовании макроскопических структур плотность и скорость могут локально
изменяться. Иначе говоря, qt становится переменной, зависящей от времени
и положения в пространстве. Наконец, образование пространственных
структур желательно изучать и на макроскопическом уровне. При
рассмотрении непрерывно протяженных систем (жидкостей, химических реакций
и т. д.) мы выбираем за исходный мезоскопический уровень и разрабатываем
методы, позволяющие предсказывать возникающие макроскопические структуры.
Мезоскопический уровень позволяет вводить понятия, которые относятся к
ансамблям атомов, но не могут быть определены для отдельного атома. К
числу таких понятий относится, например, температура. Другим примером
могут служить фазы - жидкая или твердая. Соответственно мы можем вводить
переменные двух типов q1 (х, t) и q2 (х, t), где qx относится к плотности
молекул в жидкости, a q2 - к плотности в твердой фазе. Это позволяет,
например, математически описать рост кристалла с помощью эволюционных
уравнений.
46
Глава 1
В других областях науки мезоскопический уровень не обязательно
отождествлять с атомами и молекулами. Например, при математическом
описании клеточной ткани может оказаться достаточным рассматривать клетки
как отдельные элементы на микроскопическом уровне, а их плотность (или
тип) - как подходящую переменную на мезоскопическом уровне.
Во всех случаях q,- или вектор состояния q становятся функциями
пространства и времени:
(<7i(x, *), <7з(х, t), . . . , qn(x, 0) = Ч(х, t). (1.11.10)
Помимо временных изменений нам необходимо теперь рассматривать
пространственные изменения, учитываемые главным образом с помощью
производных по пространственным координатам. Примером может служить
уравнение диффузии вещества
q = DAq, (1.11.11)
где А - оператор Лапласа, который в декартовых координатах имеет вид
д д2 , д2 д2
(1.11.12)
дх2 ду2 дг2
D ¦- коэффициент диффузии.
Все перечисленные выше индивидуальные особенности уравнений, взятые
вместе, приводят нас к нелинейному стохастическому дифференциальному
уравнению в частных производных общего типа
q = N (a, q, V, х, t), (1.11.13)
где у - оператор , - V Исследование таких уравне-
V дх ду дг )
ний - задача весьма сложная, и мы подойдем к ее решению в два этапа:
сначала опишем, как выглядят решения таких уравнений хотя бы в простейших
случаях, а затем сосредоточим внимание на явлениях, имеющих общую
природу.
1.12. Как выглядят решения?
Решения q (t) или q (х, t), по крайней мере в принципе, можно представить
в виде графиков. Рассмотрим сначала переменные qp т. е. qx, q2, ... , qn,
не зависящие от х, но зависящие от t. Временную эволюцию qj (t) можно
представить с помощью графиков (рис. 1.12.1). Во многих случаях
желательно окинуть одним взглядом все переменные сразу. Для этого можно,
