Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
применим к проблемам, с которыми сталкиваются физик, химик, биолог,
электротехник и инженер-механик. Не менее безотказно он должен
действовать и в области экономики, экологии и социологии. Во всех этих
случаях нам придется рассматривать системы, состоящие из очень большого
числа подсистем, относительно которых мы можем не располагать всей
полнотой информации. Для описания таких систем нередко используют
подходы, основанные на термодинамике и теории информации. Но за последние
годы стало ясно, что такие подходы (в том числе и некоторые обобщения,
например термодинамика необратимых процессов) не дают адекватного
описания физических систем, находящихся далеко от теплового равновесия,
или экономических процессов. Причина заключается в том, что эти подходы
по своей природе статичны, в основе их лежит теория информации,
позволяющая делать предположения о числе возможных состояний. В [1 ] было
показано, как работает такой формализм и где присущие ему ограничения
заведомо вводят в заблуждение. Во всех системах, представляющих интерес
для синергетики, решающую роль играет динамика. Как и какие
макроскопические состояния образуются, определяется скоростью роста (или
распада) коллективных
Введение
41
"мод" (в дальнейшем это утверждение будет доказано с математической
строгостью). Можно сказать, что в определенном смысле мы приходим к
своего рода обобщенному дарвинизму, действие которого распространяется не
только на органический, но и на неорганический мир: возникновение
макроскопических структур обусловлено рождением коллективных мод под
действием флуктуаций, их конкуренцией и, наконец, отбором "наиболее
приспособленной" моды или комбинации таких мод.
Ясно, что решающую роль играет параметр "время". Следовательно, мы должны
исследовать эволюцию систем во времени. Именно поэтому интересующие нас
уравнения иногда называют "эволюционными". Рассмотрим структуру таких
уравнений.
1.11.1. Дифференциальны^уравнения
Начнем с одной переменной q, изменяющейся со временем. Такой переменной
может быть число клеток в ткани, число молекул или координата частицы.
Скорость изменения q со временем обозначим dq/dt = q. Во многих случаях q
зависит от текущего состояния системы, например от числа имеющихся в
данный момент времени клеток. В простейшем случае соответствующее
уравнение имеет вид
q = aq. (1.11.1)
Такие уравнения встречаются, например, в химии, если скорость
образования некоторого вещества q пропорциональна его концентрации q
("автокаталитическая реакция"), или в популяционной динамике, где q
соответствует числу особей. Широкий класс проблем сводится к рассмотрению
осцилляторов. Уравнение осциллятора в простейшем случае имеет вид
gi + co2gi = 0,^ (1.11.2)
где со - частота колебания.
1.11.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение (1.11.2) в отличие от уравнения (1.11.1), содержащего
производную первого порядка, содержит производную второго порядка q1.
Однако, вводя дополнительную переменную q2 с помощью соотношения
?1 = ?2, (1.11.3)
мы можем свести уравнение (1.11.2) к системе двух уравнений:
(1.11.3) и
с/2=- coV (1.11.4)
42
Глава 1
Эти два уравнения эквивалентны одному уравнению (1.11.2). Трюк с
введением дополнительных переменных позволяет сводить уравнения с
производными старших порядков к системе дифференциальных уравнений,
содержащих производные только первого порядка. Долгое время в большинстве
областей науки и техники рассматривались главным образом уравнения вида
(1.11.1) - (1.11.4) и их обобщения, поскольку они линейны и могут быть
решены стандартными методами. А теперь мы обсудим другие, дополнительные
свойства уравнений, характерных для синергетических систем.
1.11.3. Нелинейность
Все уравнения синергетики нелинейны. Рассмотрим пример из химии. Пусть
вещество 1, имеющее концентрацию qlt образуется автокаталитически в
результате взаимодействия с веществом 2, имеющим концентрацию q2.
Увеличение концентрации вещества 1 определяется уравнением
<7i = P<7i<72. (1.11.5)
Ясно, что взаимодействие, т. е. синергетика, частей (в нашем примере -
молекул) описывается нелинейным членом. В общем случае мы будем
рассматривать уравнения типа (1.11.5), правая часть которых есть
нелинейная функция переменных системы. Обычно приходится рассматривать
систему уравнений для нескольких переменных qj.
1.11.4. Управляющие параметры
Еще одна существенная особенность синергетических систем состоит в том,
что ими можно управлять, изменяя действующие на них внешние факторы. В
синергетике мы рассматриваем главным образом открытые системы. Поток
энергии или вещества (или поток энергии и вещества) уводит физическую,
химическую или биологическую систему далеко от состояния
термодинамического равновесия. Изменяя температуру, уровень радиации и т.
д., мы можем управлять системами извне. В тех случаях, когда внешние
факторы управления поддерживаются постоянными, мы можем учитывать их в
уравнениях, полагая постоянными соответствующие параметры, называемые
