Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 113

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 152 >> Следующая

практический интерес, операторы ks (ik + V), входящие в знаменатели,
можно аппроксимировать операторами ks (гк), лишь слабо зависящими от
пространственных координат х, т. е. знаменатели ограничены снизу. Если
исходное уравнение
(9.1.3) содержало флуктуации, то соответствующие флуктуирующие силы
вновь появляются в уравнении (9.4.26) в виде аддитивного члена Fk.j.
Уравнения (9.4.26) были выведены некоторое время назад автором книги и
названы обобщенными уравнениями Гинзбурга-Ландау, так как если выбрать kj
в приближении (9.4.19) и отбросить индексы и суммы по к и /, то уравнения
(9.4.26) перейдут в уравнения, впервые полученные Гинзбургом и Ландау в
теории равновесных фазовых переходов, в частности для сверхпроводимости.
Помимо того, что уравнения (9.4.26) отличаются большей общностью, следует
отметить два обстоятельства: они выведены из первых принципов и применимы
к системам не только равновесным, но и находящимся далеко от теплового
равновесия.
9.5, Упрощение обобщенных уравнений Гинзбурга - Ландау.
Образование структур в конвекции Бенара
В нескольких случаях, представляющих практический интерес, выведенные
нами обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау
(9.4.26) удается упростить. Поясним основную идею и ход вычислений на
примере конвективной неустойчивости Бенара, известном из гидродинамики
(соответствующие экспериментальные результаты приведены в разд. 1.2.1).
Предполагаемая нами процедура легко обобщается и на другие случаи. В
проблеме Бенара параметры порядка зависят от двух горизонтальных
пространственных координат х и у, которые мы объединим в вектор х = (х,
у).
Пространственные структуры
323
Соответственно с этим плоские волны в горизонтальной плоскости будем
описывать волновым вектором k± = (kx, ky). Тогда собственные значения
неустойчивых мод представимы в виде (см. [1], разд. 8.13)
X = a-{kl-k2x)2. (9.5.1)
Связь с X, входящими в уравнение для параметра порядка (9.4.26), мы
установим, преобразовав (9.5.1) с помощью
elV* (9.5.2)
(где кс соответствует вектору к в уравнении (9.4.26)). Кроме того, чтобы
учесть возбуждения с конечной шириной полосы, необходимо ввести
производные, как в предыдущем разделе. В результате мы получим для X (см.
уравнение (9.4.26)) выражение
X = a- {kl + (tke + v)2)2- (9.5.3)
В дальнейшем нам понадобятся уравнения для параметров порядка (9.4.26)
следующего вида:
ukc (х) = [й - (&о O'ke + V)2)2] Икс +
+ Y. А , "6 , "и , (х) и " (х) -
к', к" кС кс' кс кс- кс+кс кс kc
С с
- в. .'k"s. к',к"+к"\'(х) V(x) V(x)> (9-5-4)
к . к , к кС кс' кс кс' кс+кс+кс кс кс кс
С С С
где 6-символы Кронекера под знаками сумм обеспечивают сохранение волновых
чисел. Так обстоит дело в том случае, если мы не задаем граничные условия
на горизонтальной плоскости и используем в качестве векторов vk, / (х)
плоские волны. Ясно, что X, задаваемые в виде (9.5.1) или (9.5.3),
учитывают в большей мере те | kj_ |, которые меньше отличаются от |ке|.
Введем теперь новую функцию ф:
Ф(х) = ?А'Х(х). (9.5.5)
к
Кс
Суммирование проводится по критическим векторам к, имеющим одну и ту же
абсолютную величину k0, но различные направления в горизонтальной
плоскости. Примем теперь наше основное предположение: будем
считать, что для векторов к, отобранных с по-
мощью 6-функций и условия | кс | = k0, выполняются приближенные
соотношения
\-к>с^Л' (9.5.6)
Sk "'"'"Я. (9-5.7)
324
Глава 9
Умножим уравнение (9.5.4) на ехр (кс-х) и просуммируем по кс. Наши
дальнейшие действия обретут особую наглядность, если мы начнем с
выражения, которое получается в результате всех преобразований из
последнего члена в правой части уравнения (9.5.4), и, следовательно,
рассмотрим выражение
ZA- Y 6 ,(х) и, " (х) и (х). (9.5.8)
Так как
к- к', к", к " к^' кл+кл+кг кп А кп
- ке-Т кс-Т кс "Н кс -0, (9.5.9)
мы можем ввести в (9.5.8) множитель
ехр [i { -кс + кс + кс + кс1-х]= 1. (9.5.10)
Изменяя в (9.5.8) порядок суммирования, получаем Y ехр [t {к' + к' + кЛ ¦
х] и ,(х)и " (х) и (х)? б ...............
к"; кс ко кс кс кс'кс+кс+кс-
(9.5.11)
Заметим, что последнюю сумму можно отбросить, так как
= 1. (9.5.12)
k,+kc+ke
Определение (9.5.5) функции ф позволяет записать оставшиеся члены
выражения (9.5.11) в виде монома
ф3(х). (9.5.13)
Аналогичным образом упрощается сумма с коэффициентом А. Наконец,
произведем преобразование
А'х (k2o + (tkc+ V)2)2 = {kl + V2)2 eik°-x. (9.5.14)
Так как в результате всех произведенных операций мы получаем
в левой части уравнения (9.5.4) ф (х), новое уравнение имеет вид
ф(х)= {а-(бо + V2)2} ф(х)4-Лф2(х) - Вф3(х). (9.5.15)
При А = 0 численные решения уравнения (9.5.15) были получены Гринсайдом,
Кокреном-мл. и Шрайером. Типичный результат представлен на рис. 9.1.
Обращает на себя внимание сходство кривых на рис. 9.1 и 1.2.6, 1.2.8.
Различие состоит в том, что на рис. 9.1 не наблюдаются шестиугольники.
Как показывают собственные результаты автора книги, шестиугольники
удается воспроизвести при А Ф 0.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 118 119 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed