Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
?k',/(x, t)
(9.4.7)
Вводя величину Ek',/(*> 0> KaK указано в выражении (9.4.7), и
аппроксимируя каждый волновой пакет по схеме
vk,/(°)^vk',/(0), (9.4.8)
преобразуем выражение (9.4.7) к виду
Z^k',/(x- 0 vk.,,.(x). (9.4.9)
к'
В рамках принятых нами предположений решение (9.4.4) можно записать
следующим образом:
q (х, t) = q0 (х) +1 gk • (х, t) v . (х). (9.4.10)
k, j '' ''
320
Глава 9
Изменяется и соотношение ортогональности: теперь его следует записывать в
виде
( vk',/(x) vk, i(x) ) = | vktiti(x). (9.4.11)
i
Интегрирование производится по области пространства, в которой содержится
много осцилляций вектор-функции v (х), но изме-
няется незначительно. При этих предположениях выполняются соотношения
< vk', /' vk, ,¦ )х = 6k'k6/'/, (9.4.12)
<vk',/' (x) ?k,/(x, Ovk,/(x))x"k,/(x, 06k'k8/'/- (9.4.13)
Для дальнейшего нам необходимо выполнить некоторые предварительные
преобразования. Рассмотрим выражение
| к. (ik) |ki. (О vk_, (0) elk-*d% (9.4.14)
представимое в виде
\ ^ I ^к, / (0 vk, / (°) eik xd3k• (9.4.15)
Оператор к,- (v), действуя на exp (ik-x), переводит экспоненту в Я/(tk).
Интеграл, стоящий в (9.4.15) справа от оператора к,- (v), можно
разложить, как и прежде, в сумму (9.4.9):
*у (V) IJ ?k'+k,, (0 / . (0) aik . (X, 0. (9.4.16)
Выясним теперь, во что переходит \ под действием оператора к,- (у). Для
этого рассмотрим выражение
Mv)ik'./(x, t)eik' x. (9.4.17)
Дифференцируя множитель ехр (tk'-x), получаем из (9.4.17)
aik' %'(ik' + v)?k'./(x, t) (9.4.18)
(мы воспользовались формулами, хорошо известными из квантовой механики).
Из определения (9.4.7) величины |к',/ следует, что она содержит только
малые векторы к'. Это позволяет нам разложить к,- в ряд по степеням
оператора V- Нетрудно проверить, что
k.(ik' + \)lk,'.{x, t) = kl(ik')lk,tl(x, t) +
+ Х}1'(tk') : v?k',/(x, 0 + ^/2) (tk') : V : VSk',/(x, 0+ • . . .
(9.4.19) Наконец, вычисляя
(vk., r (x) kj (ik)ik. j (x,t) vk, j(x) )x, (9.4.20)
мы приходим к выражению вида
A.(/k + v)gki/(x, *)fik-kfi/7 (9.4.21)
(в ходе вычислений нам понадобится соотношение (9.4.13)). Теперь
П рост ранет венные структуры
321
мы уже располагаем всем необходимым для того, чтобы приступить к анализу
нелинейного уравнения (9.1.3). Записав предполагаемое решение в виде
(9.4.10), подставим его в уравнение (9.1.3), разложим правую часть N
уравнения в ряд по степеням q и воспользуемся линеаризованным уравнением
(9.2.3). В результате мы получим уравнение
Ik. / (х, 0 = 1j (ik + V) |k, / (х, t) + Яи. / (Ik,, (x, t)), (9.4.22)
где
Hk,i= Z 5k-./'(x, t) Ik", г (x, t) (vk, / (x) N : vk', r (x):
1 k, k"
: vk",/' (x)>x+ .... (9.4.23)
Если не считать того, что X,- - оператор, уравнение (9.4.22) имеет такой
же вид, как вее уравнения, которые мы получали в аналогичных случаях
прежде.
Для того чтобы мы могли применить принцип подчинения, необходимо провести
различие между неустойчивыми и устойчивыми модами. Для этого разделим все
X на две .группы (неустойчивые "м" и устойчивые "s") в зависимости от
того, какому из двух неравенств они удовлетворяют:
Хи = Re {Я/ (ik)} > -| С | (9.4.24)
или
Я, = Re {Яу (ik)} < С<0. (9.4.25)
Определяя таким образом устойчивые и неустойчивые моды, необходимо иметь
в виду, что индексы j и к не являются независимыми. Моды, удовлетворяющие
неравенству (9.4.24), обозначим "к,/, а моды, удовлетворяющие неравенству
(9.4.25), обозначим Sk,/. Подчеркнем, что в дальнейшем при суммировании
индексы j и к принимают ограниченные множества значений, неявно
задаваемые неравенствами (9.4.24), (9.4.25). Непрерывность спектра
осложняет задачу, так как подчиненные моды непрерывно переходят в
незатухающие или неподчиненные. Поскольку принцип подчинения требует,
чтобы у вещественной части спектра Xs существовала верхняя грань (см.
(9.4.25)), мы можем при некотором С провести сечение, разделяющее одну
область от другой. Следовательно, в некотором интервале отрицательных
вещественных частей X,- моды необходимо рассматривать как неустойчивые.
При рассматриваемых нами условиях принцип подчинения, как нетрудно
убедиться, остается в силе, если амплитуды цк; достаточно малы.
Так как X - операторы, соответствующие Хи и Xs также являются операторами
по пространственным координатам. Нетрудно показать, что принцип
подчинения выполняется и в более общем случае, если амплитуды \ -
единственные медленно меняющиеся
322
Глава 9
функции пространственных координат, вследствие чего (k + V)
мало отличается от Xs (к). После этих замечаний нетрудно приме-
нить в рассматриваемом нами случае принцип подчинения. Удерживая в правой
части N исходного уравнения (9.1.3) члены до третьего порядка по q,
получаем следующую систему уравнений для параметра порядка Uk,,¦ =
Uk,/(х, t):
ки, f (ik + v)J "к, i = kZ" ^k, k'. k\ //'./'"k\ i'Uk\ r +
/'. i"
+ Z ^k', к", к/ 'Uk', i'Uk'.i'Uk+ . . •(+^'k,/(0)-
к', к", к
/'. Г. I'"
(9.4.26)
Строго говоря, коэффициенты А и В могут содержать производные по
пространственным координатам. Но в большинстве задач, представляющих
