Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
векторов q0 и xk:
q(x, 0 = qo(x) + ? tk(t) Vfc(x). (9.3.3)
k
w
Существенное различие между методом, излагаемым в этой главе, и
процедурой, с которой мы познакомились в гл. 8 (см. разд. 8.1-8.5),
состоит в том, что теперь индекс k принимает бесконечное множество
значений, в то время как в предыдущих главах множество допустимых
значений k было конечным. Имеется и еще одно различие: зависимость
векторов q, q0 и v от пространственных переменных. Подставим разложение
(9.3.3) в уравнение (9.1.3), заменив функцию N в правой части степенным
рядом по W. Если вектор (9.3.3) удовлетворяет уравнению (9.1.3), то
? ik (О V* (х) = ? lk (0 Lvfe (х) + Н (W), (9.3.4)
k k
где
H(W) = ?^?rN(2)(q0(x)): (х): (х) + . . .. (9.3.5)
k\ k"
Умножим уравнение (9.3.4) на xk (х) и проинтегрируем по пространству в
заданных границах. Из определения векторов хр следует соотношение
ортогональности
I d3xxk (х) xk'{x) = 8kk'. (9.3.6)
Воспользуемся тем, что
Lvk{x) = Xxk{x), (9.3.7)
и преобразуем уравнение (9.3.4) к виду
lt = A*?* + <vfcH(W)>, (9.3.8)
где
( v*H (W) > = ? Ik'lk* J d3x (vfe (x) N<2) (q0 (x)): xk> (x): xk- (x))+
....
k'-k' A (2)
*kk'k"
(9.3.9)
Если N и q0 не зависят от пространственных переменных, то входящие в
правую часть соотношения (9.3.9) коэффициенты упрощаются:
Aklk¦¦ = ? Wt)i'\d?xxk, i (х) vky (х) Vki- (х). (9.3.10)
316
Глава 9
Оставшийся интеграл I зависит только от решений линеаризованного
уравнения (9.3.7). Если оператор L инвариантен относительно
преобразований симметрии, то векторы v можно выбрать в качестве
представления соответствующей группы преобразований. Как доказывается в
теории групп, учет трансформационных свойств векторов v и v приводит к
правилам отбора для интеграла / в (9.3.10). Применение теоретико-
групповых идей и методов позволяет существенно упростить решение
уравнений (9.3.8). С формальной точки зрения система уравнений (9.3.8)
ничем не отличается от уравнений (8.1.17), а это означает, что вблизи
критической точки мы можем воспользоваться принципом подчинения,
позволяющим систему уравнений (9.3.8) привести к системе, состоящей из
конечного (и, как правило, весьма небольшого) числа уравнений. Главные
члены в уравнении (9.3.3) те, которые вместо всех |/е содержат параметры
порядка щ. Вблизи критической точки, в которой старое решение теряет
устойчивость, все остальные члены относительно малы и порождают лишь
незначительные поправки. Таким образом, вблизи критических точек
возникающая структура определяется суперпозицией конечного числа членов
вида
uk(t)vk(x). (9.3.11)
Какие именно комбинации членов (9.3.11) следует выбирать, зависит только
от решений уравнений параметра порядка. Могут представиться случаи, когда
в результате конкуренции мод выживает только один параметр порядка и, и
возникающая структура определяется только одним вектором v&0. В других
случаях в результате кооперативного действия мод происходит взаимная
стабилизация некоторых комбинаций параметров порядка и. Примером
конкурентного взаимодействия мод может служить образование конвективных
валов при возникновении неустойчивости Бе-нара, примером кооперативного
взаимодействия мод - образование шестиугольных ячеек при той же
неустойчивости.
9.4. Обобщенные уравнения Гинзбурга -Ландау
В бесконечно протяженной среде без граничных условий спектр оператора L,
вообще говоря, непрерывен. Рассмотрим частный случай, когда q0 зависит от
пространственных координат и времени. Пусть линейный оператор L имеет вид
(9.2.11) (и зависит от пространственных координат и времени). Как видно
из (9.2.13),
% можно выбрать в виде плоских волн
Х*(х)=Ах. (9.4.1)
Подстановка (9.2.12) позволяет опять свести задачу к решению системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(9.2.15). Если wx - конечномерный вектор, то
Пространственные структуры
319
собственные решения Wj характеризуются дискретным набором индексов,
который мы обозначим /. С другой стороны, к - непрерывная переменная.
Если пренебречь вырождением собственных значений в (9.2.15), то решения
линеаризованных уравнений (9.2.14) представимы в виде
ехр (Як, jt) vk, j (х) = ехр (Як,,1) vk, / (0) ехр (ik -х).
(9.4.2)
Заметим, что собственные значения можно записать в виде
Як, / = Я/(tk). (9.4.3)
Решение q можно искать в виде, аналогичном (9.3.3), но, учитывая
непрерывность к, с интегралом под знаком суммы:
q (х, t) = q0 (х) + ? [ iki} (t) vk ] (x) d3k. (9.4.4)
/
Применяя принцип подчинения в случае непрерывного спектра, мы
сталкиваемся с определенными трудностями, поэтому воспользуемся подходом,
хорошо известным из квантовой механики и связанным с формированием
волновых пакетов. Разложим вектор к в сумму дискретного набора векторов
к' и непрерывного остаточного вектора к:
к = к' + к. (9.4.5)
Рассмотрим выражение
Jlk./(0vk,/(0)elkxA (9.4.6)
и разложим интеграл в сумму по к':
k'x+6,2 k'y+&;2 kz+&2
S I f f Л, (0 e"1 " v..+tr.(0)
к kx-S2 ky-6 2 kz-6 2
