Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 50

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 70 >> Следующая

относительно полярной оси (ось г); величина а2 удовлетворяет уравнению
се| = р\) -f гт = AS + ^-ттг - М2, (6.142)
1 ^ 1 sin-0 ^ sirH 0 4 '
причем мы использовали (2.319). Мы обнаруживаем, таким образом, что а2 -
это полный момент импульса. Из (6.142),
160
а также из физического смысла а2 и а3 вытекает, что a2S=a3. Знак минус во
втором из уравнений (6.140) введен для того, чтобы р2 и рз имели простой
физический смысл [см. (6.148) и (6.151)].
Теперь мы введем вместо величины а[ величину с^, связанную с aj
соотношением
Причина такого переопределения станет ясной в следующем параграфе.
Заметим, что, сделав предположение
об отрицательности энергии Е, мы ограничили наши рассуждения
исключительно эллиптическими орбитами. Мы заметим также, что ах обладает
размерностью момента импульса, т. е. той же самой размерностью, какую
имеют
СС2 И 0&з.
Вводя величину R по формуле
Поскольку величина dS\/dr согласно своему физическому смыслу должна быть
действительной, из (6.145) непосредственно следует, что: а) аг должно
быть больше или по крайней мере равно а2; б) если а1 = а2, то орбита
представляет собой окружность, поскольку в этом случае мы получаем, что
R/a1 = a1/r.
С помощью уравнений (6.103) можно найти физический смысл pfc. Функция
Гамильтона - Якоби определяется согласно (6.137), (6.139), (6.140) и
(6.145). Заметим попутно, что теперь уже Slr например, содержит два ak,
так же как и S2. Из (6.143) видно, что Е содержит только а1( так что
величины Р2 и рз являются интегралами движения. Для Рз мы найдем:
где мы выбрали в качестве нижнего предела интеграла, входящего в S2)
значение я/2. Введем угол /, определяемый выражением
R = ZmeV 4яе0, мы можем переписать (6.141) в виде:
(6.144)
Г
a8=*aa cos*,
(6.147)
в Д|П) Хир
161
из которого следует, что / - это угол между полярной осью и нормалью к
орбитальной плоскости (см. рис. 26). Тогда (6.146) можно переписать в
виде;
е
о С* cos i dd .
Рз = \----------- ----[- ф =
J, sin 6 у sin! 6 -cos2 i
71
= - arcsin(ctgi ctg6)4^ =-jo. + ф, (6.148)
где через |i обозначен угол
Рис. 26. Задача Кеплера. ОАС - плоскость орбиты; О А - линия восходящего
узла; ОР - большая полуось; ОС- радиус-вектор точки орбиты; угол i - угол
наклона плоскости орбиты; р3 - долгота (величина угла) восходящего узла.
АОВ на рис. 26. Это следует
Рис. 27. Задача Кеплера. Углы, отмеченные значком |_, - прямые. Все
обозначения те же, что и на рис. 26.
из рассмотрения рис. 27, откуда следуют равенства
j . I , АВ ВС АВ . ,с
ctgt ctg^ = ?? . ш = ш= Sinn. (6.149)
Мы видим, таким образом, что рз -это просто угол, определяющий положение
линии узлов (т. е. линии пере* сечения плоскости орбиты с экваториальной
плоскостью),- угол хОА на рис. 26. Мы будем называть этот угол долготой
восходящего узла.
Обратимся теперь к р2> Для которого имеем:
или же, вводя обозначения
СС7 CCS 1 о 0?.-> 1 I
я = W. -1=1 - е2, 77 = I + е cos у,
R 1 а\ Rr 1
Р2 = arcsin [cos 0/sin i\ - % = г|> - x,
(6.150)
(6.151)
где мы снова обратились за помощью к рис. 27; гр -это угол АОС, а х -
истинная аномалия (см. рис. 28).
Причина появления последнего из соотношений (6.150) заключается в том,
что, как легко убедиться, корень, входящий в 5j, принимает действительное
значение лишь в том случае, когда г лежит между а (1 + е) и а (1 - е);
это обстоятельство, конечно, тесно связано с нашим выбором отрицательного
знака энергии, что в свою очередь обусловливает финитные орбиты.
Последнее из~ соотношений (6.150) показывает, что такими финитными
орбитами являются эллиптические орбиты; заметим также, что величина е
должна быть меньше или по крайней мере равна единице, поскольку а2 ^ ах.
Это последнее из соотношений (6.150) определяет величину радиус-вектора
как функцию истинной аномалии, т. е. является уравнением орбиты.
Поскольку рз - постоянная величина, долгота восходящего узла задана. Тот
факт, что угол i постоянен, полностью определяет положение орбитальной
плоскости в пространстве; так как Р2 тоже постоянно, а х = г1, - Рг
[последнее равенство следует из (6.151)], мы видим, что орбита остается
неизменной в пространстве, другими словами, оси эллипса сохраняют свое
направление в пространстве.
Уравнение орбиты можно записать также и в форме
(6.152)
Рис. 28. Орбиты в задаче Кеплера. О -начало координат, за которое выбран
центр сил; FP = a (большая полуось);
ОР = а( 1-е)- расстояние от начала координат до перицентра; OF = ae; FG -
aV 1 - e2 = Ь (малая полуось); ОЕ - р (параметр эллипса);^-истинная
аномалия и, наконец, и - эксцентрическая аномалия.
а 1 + е cos %
7 ~ 1- еа
6*
163
откуда видно, что а является большой полуосью, а е - эксцентриситетом
эллипса [сравните рассуждения в связи с формулами (1.237), (1.240),
(1.243) и (1.244)].
Теперь займемся величиной рх. Для начала нам нужно несколько подробнее
рассмотреть орбиту (см. рис. 28). Параметрическим представлением орбиты
через декартовы координаты I и г) будет:
где мы ввели эксцентрическую аномалию и согласно уравнению:
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed