Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(1.120), по-
скольку (6.118) -это просто закон сохранения энергии. В частности, для
гармонического осциллятора
U = \atp, (6.121)
и из (6.117), (6.120) и (6.121) мы получим:
q- q0 = [2a/a]1-'2 sin {(a/m)'/'2 (t - t0)]; (6.122)
это выражение является хорошо известным решением задачи о гармоническом
осцилляторе.
Давайте разберем заодно и трехмерный гармонический осциллятор; ему
соответствует гамильтониан
•^ = 2^ (Pi + Pi + Pi) + \ а\Я\ + \агЯг + ^ аъЯ%, (6.123)
из которого получается следующее уравнение Гамильтона - Якоби:
[Ш + {diJ + (?)2 +та1<1' + matfl + ma3q! = 2тЕ (а*).
(6.124)
Это уравнение нетрудно решить, предположив, что
5(?х, Яг, Яъ, "i> "г" аз) =
= $\(Я\, ai) "Ь (Яг, аъ) "Ь "Sg {Яг, сс3). (6.125)
Метод решения уравнения Гамильтона - Якоби, когда делается предположение
(6.125), называется методом
167
разделения переменных. В общем случае, когда разделение переменных
возможно, каждое Sk содержит только одну qk, но каждая из них может
включать в себя все ak\ в случае трехмерного гармонического осциллятора
каждая из Sft содержит лишь одну ак, но уже в этом же параграфе мы
столкнемся с более общим случаем.
Мы обращаем внимание на то, что разделение переменных в уравнении
Гамильтона-Якоби производится представлением S в виде суммы членов,
каждый из которых содержит лишь одну координату qk, тогда как в случае
уравнения Шредингера разделение переменных осуществляется через запись
волновой функции в виде произведения членов такого типа. Это, конечно,
есть следствие соотношения (6.113) между волновой функцией и функцией
Гамильтона - Якоби. Упомянем здесь также и то, что если для данной
физической системы уравнение Гамильтона-Якоби может быть решено при
некотором выборе координат, то при том же выборе координат можно провести
разделение переменных и в уравнении Шредингера.
Подставляя выражение (6.125) в уравнение (6.124), мы получаем три
уравнения для трех Sft:
и Е = a-i + а2 + аа; для каждой из трех степеней свободы мы пришли к
уравнениям, полностью аналогичным соотношениям (6.116) - (6.122).
Вторым случаем, который мы разберем, будет точечная частица в однородном
гравитационном поле. Теперь уже гамильтониан запишется так:
и произвести разделение переменных, мы придем к уравнениям:
(^J + makql = 2mak,
(6.126)
Н = g " (Pi + Pl + pl) + mgz, (6.127)
а уравнение Гамильтона - Якоби примет вид:
Если положить
5 = 51(x) + S2(.v) + S3(z) (6.129)
(6.130)
(6.131)
[2т va3 - mgz) - а\ - а\]1/2 =
158
или же
а у ;
5= $ a1dx-\- J "гdy-\- J [2ги.{аь - mgz) - a? - alY^dz.
*o го z0
(6.132)
Так как мы положили Е = а3, то из (6.102) и (6.103) следует:
Z
Ра = *-'о = (6.133)
J [2m (a3 - mg2) - ai - ctoj 7 20
тогда как
г
<%! dz
[2m (a3 - mgz) - a] - a?]1/2 '
*° (6.134)
P2 = const =y - y0- [ -------------------5---JYT-J .
J [ 2m (a3 - mgz) - aj - a 2] 1
Z о
Если обозначить через x0l y", z0 положение частицы в момент времени t =
t0, то Pi = P2 = 0, и из (6.133) и (G.134) можно получить:
х - х"= (а^т) (t - t0),
У~Уо = (&z/tn) (t - t0), (6.135)
z~z0 = [2m (as - mgz0) - a; - as2]1/2^^ - jg (t - t0)2.
Эти уравнения определяют параболу, как это и следовало ожидать. Линейные
члены в правой части равенств (6.135) описывают равномерное прямолинейное
движение, т. е. то движение частицы, в котором бы она участвовала, если
бы не было ускорения.
В этом последнем примере все координаты кроме
одной циклические. В таком случае уравнение Гамиль-
тона - Якоби может быть всегда решено методом разделения переменных. Для
этого достаточно положить все импульсы, соответствующие s-1 циклическим
координатам, равными аи а^; остающаяся часть функции Гамильтона - Якоби
может быть тогда получена простым интегрированием.
И, наконец, последний пример - задача Кеплера. Запишем гамильтониан
задачи в сферических координатах
159
[ср. (2.313)-(2.317)]:
и. Р'г , РЬ , P'ip Ze* ,R1,~
2m 2mr2 2/nr2 sin2 h 4ne0r * ( • )
Здесь, для того чтобы иметь в виду конкретную задачу, мы остановились на
проблеме водородоподобного атома, т. е. задаче о движении электрона с
зарядом -ев поле заряженного ядра (заряд Ze). Масса т, входящая в
(6.136), фактически является приведенной массой (см. рассуждения в §
1.2).
Вводя функцию Гамильтона - Якоби S(r, 0, ср) и используя метод разделения
переменных, мы полагаем
S(r, О, 9)=S1(r) + S..(0) + S3(9). (6.137)
Полагая, кроме того, полную энергию системы равной одной из а,,, скажем,
а[, мы имеем следующее уравнение:
ы
+ Нж)' + ^{^)'\-Мг' (6Л38)
где мы воспользовались формулами (6.103). Над ctj появился индекс -
штрих; дело в том, что нам будет удобнее позже ввести функцию, зависящую
от а], принимая ее за ау [см. (6.143)].
Производя разделение переменных в уравнении (6.138), мы приходим к
уравнениям:
^ = а3 = const = рФ, So = фа3; (6.139)
________
дЭ ) "и sin2 6
2in v dr j 'г2
0
1/2 dB\ (6.140)
а:
ai = n- I
sin2 e
Ze2
4Я8"Г '
(6.141)
c (• ro , . mZc2 af ]l/2
j j 2ma, + 2^77 - r2 j dr-
Величина aj является энергией; величина a3 - моментом импульса
