Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
переменных (скажем, <х,,) и совсем не содержит переменных другой
совокупности (рА). Если мы получили такой гамильтониан II (ak), уравнения
движения приобретают вид:
ак=~ - ^-=0, a^-^const, (6.101)
PA==^ = const =Vk> = + (6.102)
153
где вторая группа уравнений (6.102) следует из того обстоятельства, что
ак являются постоянными согласно (6.101) н что гамильтониан Н является
функцией только от ак. Функции ук являются, таким образом, известными
функциями ак, a 2s постоянными интегрирования будут служить ак и 8к.
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы отыскать такую
производящую функцию S(ak, qk), что преобразования
a dS ,r ,.V)1
Р" = дЦк' (6-т>
преобразуют гамильтониан Н (рк, qk) в гамильтониан Н (а*), не зависящий
от величин (3,г. Это означает, что функция S должна удовлетворять
следующему дифференциальному уравнению в частных производных:
/-/ (||;, ?*) = //>*)=?(**). (6.104)
Уравнение (6.104) н есть уравнение Гамильтона - Якоби. Чтобы подчеркнуть
то обстоятельство, что правая часть (6.104) есть полная энергия системы,
мы обозначили ее через Е.
Зачастую решить уравнение Гамильтона -- Якоби трудно, но коль скоро
функция S найдена, решение преобразованного уравнения движения тривиально
и дается формулами (6.101) и (6.102). Правда, у нас остается еще задача
найти исходные рк и qh как функции времени, а преобразование от ak и (3,,
к ph и qk нередко довольно сложно (см., например, решение задачи Кеплера
в конце этого параграфа).
Чтобы понять физический смысл S, вычислим ее производную по времени:
JS v1 dS . . v1 OS • \ ' . | v-! п ' \-~i
Til " 2 dal + 2 = Prt* +1. P*a* = Zj
k k k k
(6.105)
где пришлось воспользоваться (6.103) и (6.101). Из (6.105) вытекает, что
t
= (6.106)
154
где 7 -интеграл действия, определенный согласно (5.405) [ср. также
(5.109)].
Мы должны указать здесь, что все наше рассмотрение годится лишь в
(наиболее часто встречающемся) случае,
когда гамильтониан не содержит времени явно. Если же
время явно содержится в гамильтониане, мы должны ввести время как q0
и воспользоваться уравнением
Гамильтона
Н(р", q", <7") + А> = 0, (6.107)
которое, вместе с производящей функцией S (qk, ак\ q0, сс0), приводит к
уравнению
НЦ 9*. ?.) + ?-" <6'108>
или же
я(Ц, () + §=0. (6.109)
Заметим, кстати, что именно (6.109) нередко называют уравнением
Гамильтона - Якоби. Чтобы выяснить физический смысл S, следует также
найти ее производную по времени:
dS V dS . , V dS ¦ . dS . . dS • VI . .
dt= 2 2 щак+ dtoqo+faoa°~ 2 pm+po
h=l k=l *=1
(6.110)
или же
5 = \ + = (6.111)
Если H не содержит времени явно, то Н является
константой, которую можно обозначить через Е\ тогда из (6.111) мы
получим:
S = I - Et = S -Et, (6.112)
а (6.109) превратится в (6.104).
В этом месте удобно напомнить читателю связь между функцией
Гамильтона - Якоби и волновой функцией Шредингера. Чтобы обнаружить эту
связь, достаточно рассмотреть одномерный случай, когда гамильтониан
задается выражением
77 = (р2/2т) + ?/ (<?),
155
которое приводит к шродингеровскому уравнению,
- ш^ + иш = Е*'
где через \|з обозначена волновая функция.
Если в это уравнение Шредингера, не зависящее от времени, ввести
подстановку
= (6.113)
мы получим новое уравнение:
1 / OS y № d*S 2 rn\0qj 2 mdq*+ ^ '
которое в пределе /? -* 0 превращается в одномерное уравнение Гамильтона
-Якоби [ср. (С.114)].
Если в (6.113) вместо S ввести функцию S из (6.112), мы получим вместо не
зависящей от времени волновой функции волновую функцию, зависящую от
времени.
Наконец, мы напомним читателю, что (6.113) является исходным пунктом для
приближения Венцеля - Крамерса - Срил.чюэна, которое называется также
нередко квааиклассическим приближением, по причинам, которые должны быть
достаточно ясными из предыдущих рассуждений.
Разберем теперь три простых примера, чтобы проиллюстрировать применение
теории Гамильтона - Якоби. В качестве этих примеров мы выбрали
гармонический осциллятор (в одном и трех измерениях), частицу в
однородном гравитационном поле и, наконец, задачу Кеплера.
Мы начнем с одномерного гармонического осциллятора. В самом общем случае
гамильтониан одномерной системы имеет вид:
Н (Р> q)-=(p2/2m)-!rU (q), откуда мы получаем уравнение Гамильтона -
Якоби
^ = ^ = 2та, (6.114)
где мы положили
Е( а) = а. (6.115)
В этом случае уравнение Гамильтона - Якоби особенно просто, поскольку
координат всего одна и из уравнения Гамильтона - Якоби непосредственно
получается dS/dq как функция q п параметра а. Интегрирование сразу же
приводит к результату:
156
S = jj [2/я (а - U)jl/2 dq.
(6.116)
Используя уравнения (6.103), мы получим:
.•/
Р = \ [ml2(a-U)\'i*dq, (6.117)
<7о
р = *|-=[2/н (а-?/)]>* (6.118)
Далее, из (6.101) и (6.102) вытекает, что
а - const, (6.119)
Р = аЯ/За = 1, Р = ^-/0. (6.120)
Из выражений (6.117) и (6.120) можно найти q как функцию времени.
Выражения (6.117) - (6.120) - это и есть общие решения задачи в
одномерном случае. Непосредственно видно, что (6.117) совпадает с
