Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 47

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 70 >> Следующая

Напоследок мы хотим обратить внимание читателей на то, что вместо функции
Гамильтона Н мы перешли уже к уравнению Гамильтона ж = 0. Левая часть
этого уравнения Гамильтона попадалась нам в уравнениях движения (5.431) и
(5.432). Следует заметить, что далеко не всегда непосредственное
использование левой части заданного уравнения Гамильтона может привести к
каноническим уравнениям движения. Для того чтобы функция Ж, фигурирующая
в правых частях этих уравнений, была бы действительно той функцией,
которая стоит в левой части уравнения Гамильтона, необходимо, чтобы р0
входило в Ж линейно с коэффициентом, равным единице; иначе второе из
уравнений (5.432) будет уже несправедливо и координата q0 уже не будет
временем. Для пояснения наших утверждений взглянем на уравнение
Гамильтона для точечной заряженной частицы в электромагнитном поле -
релятивистское соотношение между четырьмя компонентами 4-вектора энергии
-импульса частицы в электромагнитном поле:
О = ж' = (р0 + еф)а - с2 [(р - eAf 4- mV], (5.435)
где ф и А, как и раньше, -скалярный и векторный потенциалы
электромагнитного поля. Составляя функцию Ж, имеющую размерность энергии
и содержащую р0 линейно с коэффициентом единица, мы получаем новое
уравнение Гамильтона:
0 = Ж = р0 + е<р - с[(р - еА)2 4- т2с2]1/2. (5.436)
Предоставляем читателю доказать, что (5.431) и (5.432) с Ж, определяемым
(5.436), приводят к релятивистским уравнениям движения [ср. вывод
уравнения (2.509)]:
57кЙ^"е(?+1*' в11' '"=<*•*), <"-437>
где, так же как в гл. 2, Е - напряженность электричео кого поля и В -
магнитная индукция.
ЗАДАЧИ
1. Гамильтониан системы с двумя степенями свободы задан равен ством
Н = \ (Pi?i+Pl</'-2c6?i)r
150
где а -постоянная величина. Доказать, что
qx = A cos Яг + В sin q2 -(¦- С, где А, В, С-константы.
2. Доказать, что преобразование
<2 = 1" (~ s>n р)> P = qdgp
является каноническим, и найти производящую функцию S (р, Q).
3. Доказать, что преобразование
p = K,Y2а cos Р, q = К~х |^2а sin [5
является контактным; найти производящую функцию S (a, q) и применить это
преобразование в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе.
4. Показать, что преобразование
является контактным преобразованием.
Воспользоваться этим преобразованием для решения уравнений
+ 9i + 9l); сравнить полученное решение с решением уравнений движения в
исходных переменных.
Б. Доказать, что преобразование
Pi - Vk\ai sin Pj +У'?2"2 sin p2, Рг --V^i"i sin Pi+V%a2 sin p2.
4i=V ai/*i cos Pi+V a2/^2 cos P2, ?2= -cosp1+Vraa/*2 cos Pa
является контактным преобразованием. Использовать это преобразование для
решения уравнений движения системы, гамильтониан которой задан в виде:
Qi - 4\ + Ph Q2 -(9i + 9a + Pf+Pl).
движения системы, гамильтониан которой равен Н=-^(р\ + р| +
^ - "2 PiН-2"(Я1~ЯгУ> + "4"(91 + 9г)а-
Выяснить физический смысл этого гамильтониана.
0. Показать, что преобразование
X, = P*X,+ WPt, Pt^Pi/P*. < = 1, ...,я,
где
л
л
является каноническим преобразованием.
151
Показать, что если гамильтониан системы задан в виде
п
1 = 1
то в любом решении, для которого полная энергия обращается в нуль,
величины А,- остаются постоянными во времени, а величины Pi являются
линейными функциями и, где и = |Р_2Л.
Проанализировать результаты, полученные в этой задаче.
7. Система с п степенями свободы описывается гамильтонианом
Используя контактное преобразование, порождаемое производящей функцией
решить уравнения движения для qr и найти нормальные координаты задачи.
Проанализировать полученные результаты.
гг
п + 1
г= I
с = 1
где
^ . О / "г и Г" • ' *и
а,г - - . - г sin----- wr - 2 sm ---------------
l'(n+I)av n-\-1' 2(n+I)'
2 . sen . гя
Глава 6
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ
В этой главе мы введем функцию Гамильтона - Якоби, которая является
решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого
уравнением Гамильтона - Якоби. Функция Гамильтона - Якоби ведет к
гамильтониану, содержащему только одну совокупность канонических
переменных. Находятся решения уравнения Гамильтона - Якоби для нескольких
простых случаев, в том числе для задачи Кеплера. Во втором параграфе этой
главы вводятся так называемые "переменные действие - угол". Их значение
видно из того, что переменные действия представляют собой адиабатические
инварианты. Адиабатические инварианты играли существенную роль в старой
квантовой теории и имеют немалое значение в теории ускорителей. Они
кратко рассмотрены в последнем параграфе этой главы.
§ 6.1. Уравнение Гамильтона - Якоби
В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие
канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме; эти преобразования
были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы
особенно внимательно займемся преобразованиями типа (5.220Ь). Смысл всех
этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель
достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют
гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed