Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
силы Р1г и Fn. Из (1.104) вытекает, что
\{Flt + Fa)dt = 0. (1.106)
v
Поскольку F1% (/^i) является единственной силой, действующей на первую
(вторую) частицу, с помощью (1.103) можно написать:
j-. dnii,v1 j-. dnizv2 /1 i
Fn = -ai-, Fn = -fi-, (1-107)
и из (1.106) и (1.107) мы получим:
[mi(c)i та(c)а]'',' = 0, (1.108)
И
или
р\ -\-р'ч~Р\ -\-р\I
(1.109)
где импульс частицы определен равенством
p - mv (1.110)
и где штрихи (и двойные штрихи) указывают на значения соответствующих
величин, взятые в моменты времени f и t".
Равенство (1.109) выражает закон сохранения импульса *); мы только что
доказали, что он справедлив для изолированной системы, состоящей из двух
взаимодействующих частиц.
Займемся теперь движением одной частицы под дейст* вием силы F и найдем
значение интеграла
с
I = jj (F-dx). (1.111)
Используя (1.103) и вспомнив, что dx = vdtt мы получим:
г
/ = ^ (тх ¦ х) dt = [~ тх2= Т" - Т, (1.112) V
где мы ввели кинетическую энергию частицы Т соотношением
Т = Yinv2 =|m (л* • х), (1.113)
причем точка над буквой (и соответственно две точки) означает и будет
означать в дальнейшем по всей книге однократное (и двукратное)
дифференцирование величин по времени.
Так как произведение (F-v) представляет собой работу, производимую силой
над частицей в единицу времени, то из
(1.113) вытекает, что полная работа сил, действующих на частицу в
промежутке времени (t', t"), равна изменению кинетической энергии
частицы. Из (1.112) можно вывести закон сохранения энергии, если только
поле сил, действующих на частицу, консервативно. Поле сил называется
консер-
*) В оригинале употреблен термин "линейный импульс" (linear momentum),
который в английской литературе противопоставляется термину "угловой
импульс" (по иашей терминологии - момент импульса).- Прим. перев.
12
вативным, если сила в каждой точке может быть получена из потенциальной
функции U дифференцированием, а именно:
- Vt/f (1.114)
где через V обозначен оператор градиента, компонентами которого являются
операторы д/дх, д/ду, д/дг.
В этом случае
I" г"
I (F-dJc) = -J (V U ¦ dx) = - U" + U, (1.115)
v е
или, прииимая во внимание (1.111) и (1.112),
r+U' = T" + Un. (1.116)
Потенциал U носит название потенциальной энергии, и мы видим
непосредственно из (1.116), что в том случае, когда функция U явно не
зависит от t, полная энергия частицы Е, т. е. сумма кинетической и
потенциальной энергии
E = T + U, (1.117)
представляет собой константу (или интеграл) движения, т. е. такую
величину, которая не меняется во время движения частицы.
Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил
интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути
движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный
моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не
было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно
определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл /
(1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени
t' и Г, но не зависел бы от пути, про-
ходимого частицей в промежутке времени между t' и t".
Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение
движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом
случае будет интегралом движения, и мы можем написать?
Е = ~тх*+и (х), (1.118)
или же, разрешая относительно х,
x = [(2/m)(E-U)yi2. (1.119)
13
Из последнего равенства получаем непосредственным интегрированием:
t-t0 = \ {2[E-U {x)]lm}-Wdx, (1.120)
*0
где через х0 обозначено положение частицы в момент времени t0. Простейшим
примером такого случая может служить одномерный гармонический осциллятор,
который определяется видом своей потенциальной энергии. Для
гармонического осциллятора
U= \ах\ (1.121)
Интегрирование (1.120) приводит в этом случае к выражению
t - t0 = (m/ay;2 arcsin [х (а/2Е)112],
или же
х = (2Е/а)'12 sin2nv (t - t0), 2nv = (aImY'2, (1,122)
где через v обозначена частота гармонического осциллятора и где
в целях простоты записи принято, что х0
равно нулю.
Заметим, что из (1.122) видно, что энергия осциллятора пропорциональна
квадрату амплитуды колебаний.
§ 1.2. Центральное поле сил
Силы, действующие во многих физических системах, имеют одну характерную
особенность - это центральные силы. Центральными силами называются такие
силы, которые действуют вдоль линии, соединяющей тело, на которое
действует сила, с телом, которое порождает действующую силу. Если
ограничиться случаем одной частицы во внешнем поле сил, то центральным
полем сил будет такое поле, в котором сила, действующая на частицу,
всегда направлена по линии, соединяющей рассматриваемую частицу и
некоторую фиксированную точку, называемую центром силового поля. Если
выбрать начало координат в центре поля сил, то сила F, действующая на
частицу, будет иметь вид:
F - f(xs у, г) х. (1.201)
Вообще говоря, такое поле сил вовсе не обязано быть консервативным. Если
