Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
шесть степеней свободы (ср. рассуждения в § 3.3 по поводу трехатомной
молекулы). Положение каждой следующей частицы в системе снова определится
тремя координатами, но расстояния этой частицы до первых трех частиц
заданы и поэтому не возникает никаких новых степеней свободы.
В качестве шести обобщенных координат, определяющих конфигурацию твердого
тела, мы выберем три координаты центра масс X, Y и Z и три угла 6, ф и
if, характеризующих ориентацию тройки взаимно перпендикулярных осей в
пространстве. Очевидно, что три первые степени свободы соответствуют
поступательным степеням свободы, тогда как второй триплет соответствует
вращательным степеням свободы. Чтобы определить угловые координаты, мы
выбираем три координатные оси X, Y и Z жестко связанными с телом, тогда
как через х, у, г обозначены оси, неподвижные в пространстве (см. рис.
18).
Угол 0 определяется просто как угол между осями г и Z. Угол ф -это угол
между осью х и линией узлов, которая определяется как линия пересечения
двух плоскостей: оху и ОЛТ. Наконец, угол if представляет собой угол
между линией узлов и осью X. Введенные таким образом углы называются
углами Эйлера.
Следует предупредить читателя, что в литературе нет единообразия ни в
определении, ни в обозначении углов Эйлера. Использованное здесь
определение - наиболее распространенное, но если вам приходится
сопоставлять те или иные выражения в разных руководствах, непременно
следует проверить определение углов Эйлера.
Для будущего удобно получить выражения для косинусов углов между одной из
осей х, у, z и одной из осей X, Y, Z. Эти выражения легко получаются из
рис. 18,
z
Рис. 18. Углы Эйлера. Система координат XYZ жестко связана с телом,
система хуг неподвижна в пространстве.
4*
99
или же в коштонентах, если воспользоваться (4.121):
Ар + (С - В) qr =
Bq + (A-C)pr = eS2, (4.206)
Сг -|- {В - А) рц - о^з.
Эти уравнения и называются уравнениями Эйлера.
Начнем с того, что рассмотрим случай е/? = 0 , т. с. случай, когда нет
вращательных моментов (моментов сил). Мы еще раз напомним, что
поступательное движение, описываемое (4.107), не рассматривается. Когда
<М = О, мы получим вместо (4.206):
Ap + (C-B)qr = 0,
Bq + (A-C)pr = 0, (4.207)
Cr + (B-A)qp = 0,
где точки над буквами относятся к производным по времени в системе XYZ.
Теперь становится ясным преимущество использования уравнений движения в
системе XYZ: выбрав однажды оси координат вдоль главных осей тензора
инерции, мы можем быть уверены в том, что они всегда будут совпадать с
этими осями. Но это было бы совсем не так, если бы мы работали в системе
хуг. Два интеграла движения системы (4.207) могут быть найдены
немедленно. Умножая каждое из уравнений (4.207) на р, q и г
соответственно и складывая их, мы найдем:
у -Ар2 + у Bq2 + ~ Сг2 = const; (4.208)
этот интеграл - интеграл энергии [ср. (4.123)].
Умножая уравнения (4.207) на Ар, Bq и Сг соответственно и затем складывая
их, мы получим:
А2р2 + В2 <72 + С2 г2 = const; (4.209)
это равенство показывает, что абсолютная величина полного момента
импульса является интегралом движения. Воспользовавшись двумя полученными
интегралами движения (4.208) и (4.209), можно выразить общее решение
уравнений (4.207) через эллиптические интегралы. Но мы не станем этого
делать, а вместо этого рассмотрим несколько частных случаев.
106
Прежде всего мы отметим, что можно найти решение уравнений (4.207) в
форме
р - const = Ро, </ = 0, г = 0 (4.210а)
или же в виде
q = const = q0, р = 0, л = 0, (4.2106)
а также в виде
г = const - r0, р = 0, q = 0. (4.210в)
Эти решения соответствуют вращениям с постоянной угловой скоростью вокруг
трех главных осей. Можно показать, что (4.210) определяют те единственные
случаи, когда (4.207) при трех неравных главных моментах инерции имеют
решение
ш ¦= const,
или же
Р = Ро> Я - <7о- ''"''о- (4.211)
Чтобы убедиться в этом, подставляем (4.211) в (4.207) и обнаруживаем, что
эти уравнения можно решить, если по крайней мере две из трех величин pv,
q0 и г0 обращаются в нуль. Мы напомним в этой связи наше замечание об
источниках происхождения термина "момент девиации" в предыдущем
параграфе.
Интересно выяснить устойчивость вращения (4.210). Это можно сделать тем
же самым способом, каким мы пользовались, исследуя малые колебания в
предыдущей главе; итак, мы положим:
р = р0 + л, q = i, г = р, (4.212)
подставим эти выражения в (4.207) и отбросим члены, квадратичные по п, ?,
и р. В результате получим:
Ал = 0,
В$ + (А-С)р<р = 0, (4.213)
Ср + (В-А)р? = 0.
Первое уравнение приводит к малым колебаниям нулевой частоты и к решению
л = const, | = 0, р = 0, т. е. к решению, которое снова имеет вид
(4.210а), но теперь уже со слегка изменившейся угловой скоростью вращения
вокруг оси X. Последние два уравнения
107
системы (4.213) дают для частоты малых колебаний (c) уравнение
ВС(о2 = (Л - С) (Л - В) Pi, (4.214)
из которого мы заключаем, что решение (4.210а) устойчиво при условии,
