Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
хотелось бы поблагодарить В. А. Угарова за подготовку русского издания и
исправление некоторых неточностей в оригинале.
Д. тер Хаар
Глава 1
ньютоновская механика
В этой главе кратко рассмотрены ваконы Ньютона и их применение для случая
центральных сил; особое внимание уделено силе, обратно пропорциональной
квадрату расстояния. Столь же кратко обсуждается рассеяние частиц в поле
центральной силы. Устанавливаются некоторые общие свойства систем,
образованных несколькими частицами, попарно взаимодействующими по
центральному закону.
§ 1.1. Законы Ньютона
Основу классической механики составляют три закона Ньютона, с которых мы
и начнем наше изложение. Мы будем считать, что все термины, входящие в
формулировку этих законов, имеют вполне определенный смысл (на самом деле
все они имеют скорее интуитивный смысл), поскольку мы просто не хотим
вдаваться в дискуссии вокруг вводимых этими законами представлений.
Выписывая законы Ньютона, мы заранее предполагаем, что существуют такие
системы отсчета, в которых они справедливы. Такие системы называются
инерциальными системами отсчета, и мы будем исходить из того, что все
рассматриваемые векторы определены в одной из таких систем. Следует
напомнить, что любая-система отсчета, движущаяся равномерно и
прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также является
инерциаль-ной системой.
Сформулируем теперь законы Ньютона.
Lex prima. Если на частицу не действуют никакие силы, то она будет
сохранять состояние своего движения, т. е. продолжать двигаться по прямой
линии с постоянной скоростью.
Lex secunda. Если на частицу действуют силы, то скорость изменения ее
импульса равна полной силе, дейст-
9
вующей на нее. Импульс частицы определяется как произведение массы
частицы на ее скорость.
Lex tertia. Когда две частицы взаимодействуют друг с другом, то сила,
действующая со стороны первой частицы на вторую, равна по величине, но
противоположна по направлению силе, действующей со стороны второй частицы
на первую. (Действие и противодействие, actio est reactio.)
Говоря о частице, мы будем иметь в виду на протяжении всей этой книги
точечную частицу (материальную точку), т. е. объект, характеризуемый
своей массой т, радиус-вектором х *) и скоростью (c), определяемой
производной от х по времени:
где через t обозначено время (временная координата).
До тех пор, пока мы не касаемся релятивистских эффектов, можно считать т
постоянной величиной, характеризующей частицу. Именно эту массу называют
в специальной теории относительности массой покоя.
В математической форме законы Ньютона записываются так:
Lex prima: Если F = 0, то о = const; (1.102)
Lex tertia: F12 - -FiX, или Flt + FiX = 0. (1.104)
В этих равенствах через F обозначена полная сила, действующая на частицу,
а через F12 (^i) -сила, действующая на частицу 2 (1) со стороны частицы 1
(2).
При условии, что т является постоянной величиной, уравнение (1.103) можно
переписать также в виде:
где через а обозначено ускорение частицы. Последняя форма второго закона
Ньютона -сила равна произведению массы на ускорение - несколько более
распространена, однако любопытно отметить, что сам Ньютон пользовался
формулировкой (1.103), которая справедлива и в том слу-
*) Мы сохраняем введенное автором обозначение х для радиус-вектора, хотя
в русской литературе принято писать г; затруднений это не вызовет, а
обозначение х имеет свои достоинства. - Прим. перев.
(1.101)
Lex secunda: ~(mv) = F\
(1.103)
л п л UV
ma = F, a = -dJ,
(1.105)
10
чае, если масса т - величина переменная, как это имеет место, напрнмер,
при движении ракеты. С другой стороны,
(1.103) можно записать в виде:
%=F, (1.103а)
определив р согласно (1.110). В такой форме уравнение движения
справедливо и в релятивистской механике, однако импульс определяется там
уже не согласно (1.110), а иначе.
Первый закон Ньютона -это закон инерции Галилея; отсюда возник термин
"инерциальные системы".
Масса т, которую надлежит определять согласно
(1.103), называется инертной массой частицы; было доказано
экспериментальным путем, что инертная масса равна тяжелой (или
гравитационной) массе частицы, которая в свою очередь пропорциональна
весу частицы. Здесь следует заметить, что такая эквивалентность обоих
сортов массы довольно естественно вытекает из общей теории
относительности.
Прежде чем переходить к следствиям ньютоновских законов, мы хотели бы
отметить, что иногда называют четвертым законом Ньютона правило, согласно
которому силы, действующие на материальную точку, складываются по правилу
сложения векторов. Такое предположение действительно молчаливо содержится
в уравнениях (1.103) и (1.104), поскольку силы уже с самого начала
обозначались как векторы.
Даже не зная конкретного вида сил, можно получить некоторые следствия из
(1.103) и (1.104). Давайте начнем с рассмотрения системы, состоящей из
двух частиц, где единственными силами, действующими на частицы, будут
