Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
плотности по вертикали. Без учета такого изменения нельзя правильно
проанализировать устойчивость системы.
119
Указанное изменение можно задать уравнением р=рЛ1-а(7'-Г.)], (12.5)
где р0 - плотность при температуре Тй. Заметим, кстати, что при обычных
значениях коэффициента линейного теплового расширения а для жидкостей
поправочный член почти на два порядка меньше главного даже при перепаде
температур вплоть до 100° С. Этим и объясняется обоснованность неучета
поправочного члена во всех случаях, кроме уравнения, описывающего
временную эволюцию избыточной конвекции.
Чтобы выявить "в чистом виде" интересующую нас физическую картину,
рассмотрим наиболее простой случай: первоначально жидкость покоилась, на
границах условия смачиваемости таковы, что сдвиговых напряжений не
возникает и все время отсутствуют тангенциальные составляющие .массовой
скорости.
В этих простейших условиях уравнение для стационарного распределения
температур имеет вид (в системе координат с осью г, направленной по
вертикали вверх, и с началом отсчета от нижней плоскости слоя):
Т = Тг + Ц- г;
дг
учитывая, что^-<0, удобнее ввести параметр
р = - - >0. дг ^
Тогда
Г=-рг+Г,. (12.6)
Предположим, что в системе возникли малые возмущения температуры Т и
скорости и". Эти возмущения, т. е. 6Т и и0 (поскольку в нашем случае в
отсутствие возмущения и"-0), на границе все время отсутствуют, т. е. на
границе все время задано условие 6Т=0 и и0=0. Внутри объема системы
временную эволюцию возмущений определяют из уравнений баланса массы,
импульса и энергии.
120
Гидродинамическое уравнение непрерывности (3.9) при р=const дает
div u0=0. (12.7)
Далее, уравнение баланса для тепловой энергии получаем из (3.14), (3.16)
и (3.17), но с учетом характера наших конкретных условий задачи. В
результате уравнение имеет вид (напомним, что уравнение составляется для
избыточного баланса сверх стационарного)
P°v^ = -div б J, + Pcyfiuoz- (12.8)
В этом уравнении мы пренебрегли членом pcvu0lbT, так как он более
высокого порядка малости (по условию задачи 6Т и и0 - малые возмущения),
а плотность избыточного теплового потока равна
6J9=- % grad б Т. (12.9)
Наконец, третье уравнение есть просто уравнение движения (5.15), в
котором надо добавить в правой части внешнюю силу и при использовании
этого уравнения учесть ряд уточнений, диктуемых условиями задачи.
Внешней силой у нас является сила тяжести. Она действует только по оси z
и равна (на единицу объема)
?бр=-gp0a6Tttgpa8T. (12.10)
Именно для учета этой силы здесь единственный раз вводится приближение
сжимаемой жидкости (бр?=0). Во всех остальных случаях, как уже
отмечалось, считается 6р=0.
Далее, членами в уравнении (5.15), которые со-
дио&
держат слагаемые вида иоа~- , мы пренебрегаем,
как величинами более высокого порядка малости. Уточнения также требует
тензор напряжений, входящий в последний член правой части уравнения
(5.15). Согласно формулам (5.16) - (5.22) зтоттен-зор можно записать ib
виде
^а0 - Р?>а& "Ь Пар Пбор, (12.11)
121
где Р и П - гидростатическое и вязкое давление,
кера. В нашем случае в уравнение движения войдет только "избыточный
тензор", обусловленный возникновением отличных от нуля и0. Поэтому надо
рассматривать только величину
так как мы принимаем 6р = 0 (приближение несжимаемой жидкости; об этом
уже говорилось выше). Поскольку в отсутствие возмущения и0=О, то
Отличным от нуля остается только 6П^. Согласно (5.20) с учетом (12.7)
имеем
Таким образом, уравнения движения в нашем случае будут иметь вид
где dzx = -^- -J- -^ и т. д., v = т]/Р. ох 02
В книге [10] на основе этих уравнений баланса для массы, энергии и
скорости (точнее, импульса) выводятся явные выражения для условий
устойчи-
122
Пар-тензор первой вязкости, 6aS--символ Кране-
ЬРар - бРбар -\- бПцр -|- бПбар.
Но
бр = - ар = о, др
6П == - §divu0
и, следовательно, согласно (12.7),
611=0.
(12.12)
= -gabT - v (dzx + dzy),
at
ди.г
~т,~ - - v (dxy + dxz), at
= ,v j_ dyz),
(12.13)
вости (12.1) и (12.2). Производство энтропии находится как произведение
соответствующих термодинамических сил на сопряженные им потоки, а
производство кинетической энергии определяется работой внешних сил и
диссипацией энергии. При этом учитывается, что диссипативные эффекты
связаны с теплопроводностью и вязкостью. Производства ищутся для системы
,в целом; при этом возникающие объемные интегралы можно свести к линейным
(по переменной z), так как интегрирование в плоскости слоя означает
просто усреднение возмущений или их производных в этом слое. В [10] при
выводе положено e2=7V, т2=1.
В результате гидродинамическое условие получается в виде
/ 3 /ди"" \*\
2 hr >-*"<"-"•>
dz > 0, (12.14
а термодинамическое условие устойчивости принимает форму
А
j [х <(grad 6Tfy - р (ипгЬТ)] dz > 0. (12.15)
О
В этих выражениях угловые скобки означают только что указанное
усреднение, h - толщина слоя, 'К Я/р Су.
При малых перепадах температуры эти условия выполняются, но с увеличением
