Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
образом требуется использование теории Онзагера, в частности соотношения
взаимности для Ltf.
Знак равенства в (11.6) соответствует стационарному состоянию с минимумом
производства энтропии. Последнее обстоятельство позволяет ставить
вариационные задачи на экстремум. Для их решения опять требуется
предположение о постоянстве коэффициентов Ly и существенно используются
их свойства. Вариационная задача записывается в виде
(11.9)
V
106
при постоянных условиях на границе для интенсивных параметров. Можно
также написать
4 S 2W^r.= °- (П-Ю)
V 1 - 1 /=1
Рассмотрим типичный пример. На границе задано постоянное распределение
температуры и химического потенциала. Давление постоянное всюду. Тогда
возникнут поток тепла J/ и диффузионные потоки J/, причем в оба типа
потоков дают вклад перекрестные эффекты. Тогда имеем
os = j;grad(-^]:- ^j;grad(-^-). (11.11)
i -1
Но система в целом покоится, так что
Sj;. = ° t-i
и можно написать
CTS = j;grad /-i) - 2 h grad (^-) i=i
(такая запись для сил уже приводилась в § 9, см. стр. 68). Далее, по
теории Онзагера
j; = lqqgrad (1) 2 Lqi grad (^-j.
j; = Li" grad /1) -2 Z-i/grad (^л).
/=i
Отсюда, с учетом условия Lqi - Liq, имеем
cts = Lqq (grad - j 2 2 L<i/grad j ?racl (zpj +
l=i '
+ "s S U, grad f-^) grad (itp). (11.12)
1=1 j=i
107
Задача на экстремум имеет вид (11.9), а после подстановки (11.12) она
примет вид (11.10). Варьируются по отдельности все независимые
переменные, т. е.
1 IT, (ц<-Цп)/Т с i=l, 2.............п-1. В результате полу-
чим п уравнений:
2lqq div grad Ш - 2 ^ div grad = 0,
/=1
2Liq div grad -2 ]g?f/div grad -Mflj =0,
t = 1,2............................n - 1,
или
div \lqq grad - 2 ^/grad (-^ 0,
(11.13)
div \liq grad (A-j - grad = 0.
(11.14)
Но, согласно теории Онзагера, выражение в фигурных скобках в (11.13) есть
поток тепла 3q, а выражение в фигурных скобках в (11.14)-диффузионный
поток J,- i-ro компонента.
Таким образом, получаем
div - 0, div Jf = 0.
Из законов сохранения масс для компонентов (в отсутствие химических
реакций) и энергии (см. § 3) с учетом того, что плотность внутренней
энергии можно записать в виде рсгТ (с точностью до постоянного
слагаемого), тогда получим (cv - теплоемкость при постоянном объеме)
АТ ' дс, ,
pcv - = - div J" = 0, Р - = - div J, = 0.
dt dt
Таким образом, мы убеждаемся, что состояние с минимальным производством
энтропии, соответствую-
108
щим заданным постоянным условиям на границе, есть
(дТ дс,-
стационарное состояние (- = 0, - = О
Поскольку по принципу Пригожина это состояние есть предельное состояние,
к которому стремится диссипативная система, то необходимо убедиться в
устойчивости этого состояния, т. е. надо показать, что при случайном
отклонении этой системы от стационарного состояния система вновь
возвращается в него. Требуется таким образом, проверить справедливость
неравенства
- < 0. at
В рассматриваемом примере доказательство этого неравенства хотя и не
сложно, но очень математически громоздко. Поэтому мы ограничимся
простейшим примером двухкомпонентной системы (п=2). Тогда
" -2 gra4l ^)} *¦
V
Интегрируя по частям и заменяя объемный интеграл поверхностным по теореме
Гаусса - Остроградского, получим (здесь 5 - поверхность)
На границе условия для Т, и постоянные, поэтому поверхностный интеграл
равен нулю. Что же касается второго интеграла, то величина в фигурных
скобках - существенно положительная, так как при помощи законов
сохранения эта величина сводится к виду
109
где на основе термодинамических соотношений Л>О и 5>0.
Большое количество примеров решения задач такого типа содержится в книге
Хазе [24].
Необходимо еще заметить, что несколько иную формулировку вариационного
принципа независимо от Пригожина предложил Онзагер. Его принцип принято
называть принципом наименьшего рассеяния энергии.
По аналогии с функционалом рассеяния Рэлея вводится функционал Ф"(Х" Х}),
который задается в виде
фп(х.,х/)==± 2SW/- (11Л5)
i-i /= 1
Вариационный принцип гласит:
б |(ст5-Ф")аг = 0 (11.16)
v
при постоянных условиях на границе для интенсивных параметров системы, т.
е. на границе 6Г=0, бР = 0, бц, = 0 и т. д. При постоянных Lij
использование этого принципа весьма просто.
В книге [8] показана эквивалентность принципов Онзагера и Пригожина.
Решение задач на основе
принципа Онзагера тоже весьма сходно с соответст-
вующим решением на основе принципа Пригожина. Рассмотрим, например,
теплопроводность в твердом теле. Тогда X, = grad(l/Г). По теории Онзагера
П
а,= и в результате имеем
i= 1
6^,JgradyVdr = 0. (11.17)
Таким образом, все сводится к решению уравнения Лапласа (А - оператор
Лапласа)
Д7'=0, (11.18)
определяющего стационарное распределение температуры при заданных
граничных условиях, т. е. мы получаем прежний результат.
110
Условие устойчивости стационарного состояния в рассматриваемом примере
проверяется выполнением неравенства
^ ^rfr<0.
v dt
Имеем (с учетом теоремы Гаусса - Остроградского, закона сохранения
