Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
и х". {п.. = х'.. + in".):
где и-действительная величина, a SP-символ главного значения в смысле
Коши. Из этих соотношений можно также получить
Рассмотрим теперь специальную задачу. Заданы внешние силы Ft(t) такие,
что Fi{t)-FiQ(-t), причем Й(-^) = 1 при ^>0, Q(-t) =0 при ^<0 (действие
силы выключается при ^ = 0). Фурье-образ функции
ОО
i) = | х ij (t) eililte~vtdt.
0
+00
-00
+СО
¦boo i(at / \
eCutKij(u) - - 3й ^ --Х>/ M-dco (^>0),
m оэ - и
т J оэ - и
-00
(10.18)
-со
Q (-t) имеем вид
Значит, из
Q (со) = лб (со) + SP
tco
Да, (со) = ^ и;/И/7/И /'=1
имеем
Да, (со) = ^ Xi/((r))FI (лв ((r)) + & "
/=1
или, для оригинала,
+оо
Ао, (0 = ^3 j (со) F] (со) dco =
/-1 -00
1 " ( I Т ё~шхи(а) , ]•
/=1 I -оо >
Отсюда из формулы (10.18) с и = 0 для t<0 получается, что Ху(0) в
точности равен второму слагаемому в фигурных скобках, так что
П
Да* (t) ='const = ^ кц (0) Pi пРи *<С0>
/=1
т. е. реакция на действие постоянных сил постоянна во время действия
последних.
С учетом же (10.18) для t>0 имеем
400
1 (* _L
Да,-(0=SF/'ir53S 2н ~ *</И^со =
х _ . -k J-iat
F,-?P \ -га .)
1=1
р Kij (м)
= V Fj - SP С cos со/*4 M-dci). f-J ш J со
/-1 -оо
Другими словами, принцип причинности, вообще говоря, разрешает указывать
эволюцию системы в будущем после выключения действия внешних сил.
4 к. п. гуров 97
Чтобы подчеркнуть физическую сущность процесса, это можно записать так:
ДаПО =K(t)F,
где K(t) называется релаксационной матрицей. Сила F задает условно
равновесное (в присутствии внешней силы) описание системы, a K(t)
описывает релаксацию системы к истинному равновесию.
Можно показать, что рассмотренная ранее корреляционная функция,
связывающая разновременные флуктуационные состояния, прямо связана и с
релаксационной матрицей и с матрицей восприимчивости системы.
Установление этой связи есть содержание так называемой флуктуационно-
диссипативной теоремы. Мы не будем здесь .рассматривать эту теорему (ее
подробное изложение приведено .в монографии [6]).
Для нас важно только одно следствие этой теоремы. Релаксационная матрица
указывает направление (и характер) эволюции системы после выключения
действия внешней силы. Поэтому благодаря связи ре-ляксяттионной матрицы с
функцией временной корреляции между флуктуационными состояниями можно
было бы предсказать характер эволюции крупномасштабной флуктуации в
будущем, если само возникновение такого флуктуационного состояния
рассматривать как результат действия некоторой внешней силы.
Введение таких фиктивных внешних сил в свое время было предложено
Леонтовичем [23] для термодинамического описания неравновесного
состояния. Добавление специально подобранной внешней силы делает систему
фиктивно равновесной. Применительно к нашей проблеме это можно
представить себе так.
Физический элементарный объем - это "открытая система" в резервуаре с
бесконечным числом степеней свободы. Поэтому интенсивные параметры Р( в
таком объеме задаются резервуаром, а в равновесном состоянии значения
экстенсивных параметров строго соответствуют задаваемым значениям Pt.
Если же есть флуктуация Xh т. е. отклонение Х{ от указанного значения, то
это можно себе представить как изменение AXi вследствие изменения ДPt в
резервуаре, что в свою очередь могло произойти из-за действия
98
внешней фиктивной силы F. Такое изменение необходимо для установления
нового фиктивного равновесного состояния.
Соответствующие изменения интенсивного и экстенсивного параметров в
рассматриваемой системе можно представить в виде
+00
АР (t) = -i- С р (да) e~iwtdw,
2 я J
-со
400
АХ (/) = - С a (w) e~iwtdw.
2я J
-со
При малых р (т. е. при малых внешних силах) вводят понятие адмитанса
системы
У (да) = iw ^ .
Р N
При крупнозернистом огрублении пространства, а следовательно, и шкалы
времени, т. е. когда рассматриваемой системой в резервуаре является
физический элементарный объем, Y(w) допустимо обрезать на высоких
частотах. Более того, формально в ряде случаев можно ограничиться
приближением
У(а>) = шУ,
где У легко находится по теории флуктуаций в равновесной системе:
Но, согласно (10.9),
а В~и, как мы уже знаем, есть модуль распределения флуктуаций, т. е.
является определяющим параметром в вероятности образования определенной
флуктуации.
Значит, действительно, используя такой подход, можно ввести локально
квазиравновесное флуктуаци-
4* 99
онное состояние, причем это состояние будет крупномасштабным - будет
состоянием всего физического элементарного объема, имеющего, как мы
знаем, размеры, характерные для гидродинамических масштабов.
Можно показать, что адмитанс У (до) связан со спектральной плотностью 5
(до) соотношением
5(до) = --^[У'(до) + У>(до)]-^
2л w3
и корреляционную функцию Чг(т) =ДХ(/) ДХ(/+т) можно выразить через Y(w),
т. е. и на этом пути можно подойти к исследованию временной эволюции
флук-туационного состояния.
Однако для намеченной нами программы существенно другое.
Если выключить действие фиктивной силы, так что в резервуаре интенсивные
