Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гуров К.П. -> "Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы)" -> 25

Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.

Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) — Наука, 1978. — 126 c.
Скачать (прямая ссылка): fenemelogicheskayatermodinamika1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 35 >> Следующая

функции означают вероятность того, что в момент времени ? первый параметр
имеет значение аь а второй параметр через интервал времени т позже будет
иметь значение а2. Для стационарных процессов такая функция зависит от т
явно, т. е.
W=ф(аь а2, т).
Корреляция между состояниями и а2 определяется корреляционной функцией
т
?(t) = (0 а2 (? + г) = lim - С ах (?) а2 (t -f х) dt. (10.14)
Г-со Т J О
Еще заметим, что можно также написать
? (г) = (ax, а2, г) dax da2. (10.15)
Характер записи зависит от исходных данных. Первая запись удобна, если
известна зависимость а от t.
Для исследования ^(т) применяют фурьеганализ. Если a(t) равна нулю вне
интервала Т, то
+00
a (/) г= - С А И e-to'dw. (10.16)
2л j
-09
92
По своему физическому смыслу a(t) есть действительная величина,
следовательно, A {w) =А* (-w), причем
400
A (w) - j* а (/) eiwidt. (10.17)
-СО
Значит,
+00 +СО +СО
'F (t) = lim -- С Г С A (w)e~iwiA(w')e~iw'<'Ux'ldwdw'dt -
г-+сс)4л27' J J J
-оо '•-со -со
400 +DO
= Urn -1- С Г A(w) A(w')e~iw'x6(w + w')dwdw' = Т-юо 2яТ J J
-00 -со
+00
= lim -Г A(w) А (- w) eiwxdw = т-к" 2яТ J
-СО
+00
= lim -Г A (w) A* (w) eiwxdw = - Г S(w)eiandw, т~*оо 2пТ J 2 J
-00 -СО
где б(ш) -дельта-функция Дирака, со свойством
+00
j f(x')b(x- x')dx' =f(x),
S {*>)*= I(tm) ~ | {А (да) [2.
T -*co JlJ
Функция S(ay) называется спектральной плотностью. Эта функция, очевидно,
определяет дисперсию флук-туационного процесса, так как в рамках
линейного приближения можно показать, что
+00
^ (0) = а2 == J S (w) dw,
т. е. S(w)dw дает вклад в флуктуацию от моды до.
93
Аналогично можно рассматривать и пространственную корреляцию. Там тоже
при помощи фурье-анализа получается дисперсионное выражение с функцией
S(q), где q - волновой вектор. В общем же случае, следовательно,
необходимо рассматривать функцию S(w, q).
Изложенное выше являлось информацией о результатах строгой теории. Нас же
интересует лишь корреляция на интервалах гидродинамического масштаба.
Чтобы лучше показать, как это получить, рассмотрим оператор плотности
числа частиц в строгой математической формулировке
N
п(г) = 2 6(г< - г),
i~ 1
где N- общее число частиц системы, г - точка в координатном пространстве,
г; - динамическая переменная ("положение" i-й частицы), б (г)-объемная
дельта-функция Дирака*). При статистическом усреднении наличие дельта-
функции "привязывает" частицы к точке г. В крупнозернистом же масштабе
"привязывать" можно только к физическому элементарному объему,
представителем которого является "гидродинамическая координата" г. Такой
результат можно получить, заменяя 6-функцию расплывчатой 0-функ-цией по
Шварцу, со свойствами
0 (х) dx = 15 (х) dx - 1,
j / (х - х') 0 (х) dx = [f(x')]AV,
где [/(*')]ду - усредненное по объему ДУ (около точки хг) значение
функции f(x). При таком подходе (усреднении по ДУ) должны выпасть все
тонкие детали внутри ДУ. Этому соответствует "обрезание" спектральной
функции при больших | q |. Аналогично следует обрезать спектральную
функцию в высокочастотной области спектра. Следовательно, рассматриваются
*) Объемная 6-функция в декартовой системе координат имеет вид
6(r) = ft(*)8(y)6(zj.
94
только вклады, образующие релаксации со временем, сравнимым с
гидродинамическим масштабом. Формально это достигается заменой S(w) на
5макр"(ш). Такое обрезание как раз делает допустимым использование
условия локального квазиравновесия в том смысле, в каком по Эйнштейну
вводится понятие энтропии для флуктуационного состояния.
Таким образом, знание спектральной плотности позволяет рассматривать
взаимосвязь какой-либо случайной характеристики на макроинтервалах
времени. Чтобы подробнее оценить этот результат, рассмотрим "принцип
причинности".
Пусть система характеризуется набором параметров а,-. Если на систему
действуют внешние силы Р>, зависящие от времени, то это вызовет изменение
at (реакция системы). По теории линейной реакции изменение Aat(t) равно
п +оо
Да* (9 = 2 j кч V - О Fj (О dt' =
/=1 -оо
п +00
= 2 j Kij(x)Fj(t-x)dx
/= 1 -00
(подробнее о теории линейной реакции см. в работе Кубо [3]).
Принцип причинности гласит, что
и"(т) =0 при т<0,
что просто означает, что реакция системы во времени есть следствие
действия силы и не может предшествовать этому действию. При конечных
силах результат реакции не может дать бесконечное по величине изменение
Aat. Отсюда следует условие 00
| К if (т) dx < оо
о
для всех i и /.
Если теперь использовать фурье-анализ, то для фурье-компонент из
предыдущей формулы получим
П
Да, (ш) = ^ кц ("0 Fj (ш).
/=1
95
Матрица |и"(о>)| называется матрицей восприимчивости, она не имеет
полюсов на действительной оси
ОО
(w) = j1 Kij (t) eiwtdt
0
(так как Kij(t) = 0 при ^<0).
Рассмотрим обобщенный случай с o> = co-{-/v. Тогда
Для v>0 такие интегралы конечны, поэтому величины x(co-j-iv) не имеют
полюсов (особых точек) в верхней комплексной полуплоскости и стремятся к
нулю при
V оо.
Этот результат позволяет получить соотношения Крамерса - Кронига для х'с.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 35 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed