Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
жидкости. Последнее обстоятельство следует учитывать при выводе
уравнений. В большинстве случаев для проводящей покоящейся жидкости I =
рЕ, где р, как и выше в примерах с постоянным электрическим полем в
твердых проводниках, есть проводимость в изотермических условиях (р- l/R,
R- сопротивление). Однако в движущихся проводниках в магнитном поле
указанное
81
соотношение заменяется следующим (см. [17]):
i = p(e +J-[u0H]). {9Л)
Последнее соотношение можно использовать для преобразования основного для
магнитной гидродинамики уравнения Максвелла. А именно, мы имели (см.
(7.6))
- = - crotE, (9.8)
dt
div Н = 0. (9.9)
Но из (9.7) следует
Е =-------- [u0H] + R I,
С
или, с учетом (9.5),
Е = - - [u0H] + - rot Н. (9.10)
с 4 я
Подставляя (9.10) в (9.8) и учитывая при этом соотношение
rot rot Н = grad div Н - ДН
- оператор Лапласа, А = ^ , получим с уче-
том уравнения (9.9) основную систему уравнений для магнитного поля:
^ = [и0Н] + ^ДН, (9.11)
at 4 я
div Н = 0. (9.12)
К этим уравнениям следует добавить уравнение гидродинамики для и"
("уравнение движения"). Мы не будем его выписывать, а перейдем к анализу
диссипативных эффектов при необратимых процессах.
Как мы уже знаем из всего предшествующего изложения, анализ сводится к
анализу производства энтропии а3 и потока энтропии J/.
Эффекты диссипации связаны с вязкостью, теплопроводностью и выделением
джоулева тепла. Значит, формально а, будет иметь прежний вид (5.40), но с
82
добавлением члена RI2/T, связанного с джоулевым теялом (см. предыдущие
примеры).
С учетом (9.5) этот член запишется в виде
/__л. 1142
(rot Н)2.
16я2Г
Таким образом,
' ' a=i Р=1 а
№*а)
+ - div u0 + (rot Н)2. (9.13)
Т 16л2Г ' '
Что же касается J3', то этот поток просто записывается в форме (7.5), но
с учетом (9.5):
j; = -^- + sI=^- + ^rotH. (9.14)
Т Т 4п
Однако для расшифровки этих выражений требуется составить и решить полную
систему уравнений магнитной гидродинамики, т. е., "роме уравнений (9.11)
и (9.12) и упомянутого уравнения движения требуются и остальные два
гидродинамических уравнения, а также уравнение состояния и уравнения
переносов. Мы не будем выписывать эти уравнения. Отметим только, что в
уравнение движения, кроме обычного тензора напряжений Рар = Рба" + ПаР,
войдет тензор напряжений Максвелла. В нашем случае он имеет
ВИД
Рар=-^(ЯаЯр-----------5-Я2б"р
Уже этот результат показывает, что решение уравнения движения
относительно и0 будет зависеть от Н, а следовательно (учитывая выражения
(5.20) и (5.22) для Пар и П), от Н будет зависеть также производство
энтропии as и поток энтропии J/, сверх той явной зависимости, которая
дается членом в о", связанным с джоулевым теплом, и членом в J/,
связанным явно с Н.
83
Все это показывает сложность таких задач, хотя их можно решить до конца в
рамках теории Онзагера с учетом эмпирических уравнений переносов. Для
примера укажем, что решение поставленной выше задачи в самом общем виде
потребует, даже при учете соотношений взаимности Онзагера, введения 36
независимых кинетических коэффициентов.
§ 10. О СВЯЗИ МЕЖДУ ПРОЦЕССАМИ ПЕРЕНОСА И РАССАСЫВАНИЕМ КРУПНОМАСШТАБНОЙ
ФЛУКТУАЦИИ
В § 1 мы отмечали, что процесс переноса можно рассматривать как
рассасывание крупномасштабной флуктуации. Поэтому между теорией
флуктуаций и теорией необратимых процессов должна быть вполне
определенная связь. Строго эту связь можно проследить только в рамках
статистической механики квантовомеханических систем с последующим
переходом к квазиклассическому пределу.
Ниже мы, ограничиваясь в основном только феноменологической теорией,
дадим общую характеристику такой связи.
Прежде всего следует отметить, что когда мы говорим о связи теории
необратимых процессов с теорией флуктуаций, мы подразумеваем флуктуации в
равновесной системе. Физически очевидно, что в такой системе должно
происходить упомянутое "рассасывание" флуктуаций, так как равновесное
состояние является единственным устойчивым состоянием и свободная энергия
системы в этом состоянии имеет абсолютный минимум. Именно теория
флуктуаций в равновесной системе достаточно полно разработана к
настоящему времени.
Далее, введенный нами термин "крупномасштабная флуктуация" подразумевает
только временной и пространственный масштаб флуктуации, но ничего не
говорит о величине отклонения флуктуирующего параметра (определяющего в
числе прочих термодинамическое -состояние системы) от своего равновесного
значения. Как будет пояснено далее, в равновесной системе распределение
флуктуаций по величине упомянутого отклонения имеет вид гауссовой кривой,
так
84
что "вклад" от флуктуации с большой величиной отклонения флуктуирующего
параметра незначителен (за исключением области состояний, соответствующей
фазовому переходу, который мы не рассматриваем).
Последнее обстоятельство для нас весьма существенно. Как мы видели в § 8,
наиболее просто описать необратимый процесс в рамках линейной
термодинамики, что подразумевает, что параметры а; не сильно отличаются
