Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентами и эмпирическими коэффициентами уравнений переносов,
которые определяются из опыта (коэффициенты теплопроводности, диффузии,
вязкости, электропроводности и др.). Соответствующие соотношения очень
полезны при решении практических задач в рамках теории Онзагера (т. е. в
линейном приближении). Примеры такого решения с использованием связи
между Lfj и эмпирическими коэффициентами будут приведены в следующем
параграфе.
,59
Укажем также, что перечисленные свойства кинетических коэффициентов можно
использовать и для доказательства неравенства 0.
Итак, локальное производство энтропии в этом формализме записывается в
виде билинейной формы (см. (8.2) - (8.5))
dS п
-^=as = 2 ItXt, (8.12)
?=i
или
dS" п п
- as = 2 2 LijX-iXj, (8.13)
i=i /=1
т. е. получается та же форма, что и в предшествующем рассмотрении, однако
с тем отличием, что теперь
Рис. 2.
Л определяется по другому, чем раньше (например, Ii=daildt, а для
векторных потоков раньше было J/=a,(Ui-u0)). Не представляет затруднений
перейти от одной формы записи к другой (с соответствующим
переопределением сопряженных термодинамических сил).
60
Наглядно это можно выполнить (в линейном приближении!) следующим образом.
Заметим, во-первых, что 0, по существу определяется в системе центра масс
(конвективный поток вклада не дает). Поэтому можно просто положить и0=0.
Пусть свойство, характеризуемое параметром а, меняется вдоль координатной
оси х (гидродинамического масштаба), как указано на рис. 2. Тогда
изменение свойства в фиксированной точке xt за время dt равно но> как
видно из рисунка, с точностью до линейного приближения это же изменение
равно - - dt (движение фрон-
dx dt
та с постоянным фиксированным значением а). Отсюда получается в общем
трехмерном случае
da, , 1
1С = -- = и,- grad а = Зс "grad аь at ас
так что термодинамическая сила, сопряженная J/, теперь запишется в виде
= --^-grada^ a- dat
и, что важно, между J/ и Xf сохраняется то же линейное соотношение (с
неизмененным кинетическим коэффициентом) :
J; - 3 LijXj. (8.14)
/=1
Следует оговорить, что, вообще говоря, приведенные выше рассуждения
требуют уточнения в связи с тем, что а,- могут быть четными и нечетными
функциями скоростей и это сказывается на анализе получаемых выражений.
Однако уже в принципе Кюри заложены все предпосылки, предохраняющие от
ошибок при рассмотрении без такой детализации. Кроме того, в ряде случаев
дополнительную (и очень существенную) информацию можно получить из
анализа результатов с точки зрения выполнения условия взаимности Онзагера
для кинетических коэффициентов.
61
Первый вывод, который "напрашивается" из полученных результатов,- это
следующий: поток определяется из поставленной задачи. Например, плотность
диффузионного потока компонента i задана в виде р(и" Тогда силы, его
вызывающие, определяются физическими соображениями и "корректируются"
соображениями размерности. В нашем случае сопряженная сила связана с
неравновесным распределением компонентов. С учетом этого соображения и
анализа размерностей в соотношении (8.14) (квадратные скобки - символ
размерности):
dS"
находим
X, = -grad(-^, (8.15)
т. е. получаем прежний результат.
В соответствии с принципом Кюри три типа потоков - скалярные (связанные с
объемной вязкостью, а также с химическими реакциями, которые мы не
рассматриваем), векторные (потоки массы и тепла) и тензорные (сдвиговая
вязкость) -образуют три типа не связанных между собой процессов переноса.
Поэтому только часть коэффициентов Lti отлична от нуля (например, Li} для
связи процессов переноса тепла и массы). Производство же энтропии
распадается на сумму независимых производств, причем, очевидно, каждое
слагаемое (т. е. производство энтропии определенного типа) должно быть
^0.
Чтобы закончить этот раздел теории, осталось еще дать "рецепт" включения
в формализм Онзагера внешнего силового поля.
Как уже указывалось в § 7, силовое поле может привести в процессах
переноса только к диффузионному перемещению вещества. Отсюда сразу
следует, что соответствующая часть производства энтропии будет просто
содержать дополнительный член. Если обозначить силу, действующую на
единицу массы компонента /, через F,-, то
а.= - J Jigrad (Щ + 2 , (8.16)
t=i v ' /=i
62
так что теперь
X, = Xj + x!H=-grad(-?-) + -^, (8.17)
но
h = 2 Lij X/ + La XfH; (8.18)
/=i
здесь Хт - силы чисто термодинамической природы, а Хвн - внешние силы.
§ 9. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОНЗАГЕРА
Перейдем теперь к примерам применения линейной теории. Мы приведем здесь
только несколько наиболее типичных примеров.
Рассмотрим сначала теплопроводность в гомогенной системе. Если J,
определить как плотность потока тепла, т. е. как величину размерности
[плотность-•энергия-скорость], то согласно полученным выше
результатам Xq-------- grad Т\ отсюда
J, = -^grad Т.
С другой стороны, по закону Фурье J,=-Я grad Т,
где Я - коэффициент теплопроводности. Следовательно,
Вообще говоря, полученный здесь результат - довольно тривиальный. Однако
