Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гуров К.П. -> "Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы)" -> 12

Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.

Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) — Наука, 1978. — 126 c.
Скачать (прямая ссылка): fenemelogicheskayatermodinamika1978.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 35 >> Следующая

существенно усложняется; для такого рассмотрения требуют ряд соотношений,
которые будут выведены только в последующих параграфах). Опыт показывает,
что во многих случаях можно пренебречь сжимаемостью при рассмотрении
диффузионных процессов и тогда справедливо эмпирическое соотношение
J/=-рД grad с,., (6.4)
где Д-парциальный коэффициент диффузии. Анализ этого коэффициента
позволяет его записать в виде (подробнее см. § 8)
(6.5)
rT ; dci
п
S
где m=----• -средняя масса всех частиц, образую-N
щих систему (/л,- химический потенциал компонента
i, приходящийся на единицу массы, так что тц,--химический потенциал
компонента i в расчете на одну частицу системы), т>0; Д-коэффициент
самодиф-фузии компонента i в рассматриваемой системе (Д> >0),
характеризующий диффузионную подвижность частиц сорта i в равновесных
условиях.
Учтем еще, что при r=const
grad grad ct, ? = 1,2
\Т ) Т дс{
(в двухкомпонентной системе с1 + сг=1 и только одна концентрация является
независимой переменной, определяющей состав системы).
41
В результате окончательно получаем (при Т- =const)
- i'i grad (7-) = р (§га(3 с'? > °> (6-6)
так как по самому смыслу понятия концентрации с^О. Заметим, что и учет
сжимаемости привел бы к аналогичному (в смысле знака неравенства)
результату, но усложнил бы все рассмотрение (см. § 8).
Теперь рассмотрим второй случай (только неоднородное распределение
температуры, grad Тф 0). Тогда
grad (у) - (fif - F^ еЫ т " -% srad т-
где h{ - энтальпия компонента ? (на единицу массы),
Л; (6.7)
С другой стороны, имеется эмпирическое соотношение (опять без учета
сжимаемости, см. § 8)
j; = -PZ%rad7\ (6.8)
где D\ - так называемый коэффициент термодиффузии. Можно показать (см. §
8), что в нулевом приближении (причем учет поправки не изменяет знака
конечного результата)
т с.-п *
Di = irhiDi (6-9)
(mhi - энтальпия компонента i на одну частицу системы) .
Итак, в результате получаем (при однородном составе)
- JI grad (^-) ='Р D\h] (grad Tf >'0. (6.10)
Перейдем теперь к анализу третьего члеца р пр;}* вой части.
Выражение (5.21) для nip по существу есть эмпирическое выражение с
определяемым из опыта коэффициентом т}>0. Из формы этого выражения видно,
что
П$ = П$,
причем для $фа
(6Л1)
Отсюда следует, что можно написать
2 2 2п"<(^+^) =
a=i fi=i a a=i |3=i \ P a /
(fJ^a) (3?to)
3 3 'dum , du0l
_____Л v v (--
2 ^ a V дхв a=i S=i ' P
- T~ V dxo dx"
a=i p=i \ P о
(P^a)
Итак, окончательно получаем
___L<o "О д(1)^цоР__.Л -ci -^1 (ди"а I ди°Р \
Т 2J Zj "р дх 2Т ^ р I дхо дха)
0=1 0=1 a a=i 0=1 \ Р " /
(Р^а)
(6.12)
Наконец, анализ четвертого (последнего) члена элементарен. Этот член
имеет вид
п ,•
-----div un.
т 0
Согласно (5.22),
П=-? divu0>
причем эмпирический коэффициент ?>0.
Таким образом,
- у div u0 = ^ (div u0)2 > 0. (6.13)
43
Итак, мы показали, что
а. $sO.
(6.14)
Это служит одним из подтверждений правильности выбора выражения для а..
Следует еще раз подчеркнуть, что для доказательства неравенства (6.14)
требуется использовать эмпирические соотношения, получаемые вне рамок
феноменологической теории термодинамики необратимых процессов.
Косвенным путем можно также проверить правильность "подгонки" явного
выражения для J/.
Рассмотрим систему неизменной массы М, заключенную в произвольный объем V
(через границы объема нет приноса или уноса вещества (массы)). Тогда
Составим выражение для dS/dt, где 5 - энтропия системы в целом,
v
V
(6.16)
V
С учетом (6.15) имеем
dS г ds ,
- = \ Р -dr, dt Jdt
v
или, на основании (5.31),
v Js d г -f ^ as dr.
V V
По теореме Гаусса - Остроградского
v
где Q - поверхность, ограничивающая объем V, а п - единичный вектор
внешней нормали к поверхности ?2.
44
• j* JjtidQ + j"asdr. (6.17)
Таким образом, dS_ _ dt ~
Q V
Подставим теперь вместо J/ принятый нами явный вид этой величины:
П
и при этом учтем, что, в соответствии с условием неизменности массы
системы, на границе
J/=0.
Тогда
^ ^ JqtidQ + ^ crs dr. (6.18)
n v
Выражение - ^ J,ndQ по своему физическому смыслу ?2
означает поток тепловой энергии в объем за единицу времени. Поэтому, если
проинтегрировать уравнение (6.18) по некоторому конечному интервалу
времени, то получим
AS = ^L+Л, (6.19)
где
А = j ^ crs dr dt, ti v
a AQ - количество тепловой энергии, полученное системой извне за
рассматриваемый интервал времени. Поскольку о,^0, то и А ^0, а,
следовательно,
AS > ^ . (6.20)
Полученное нами неравенство есть содержание теоремы Карно - Клаузиуса.
Такое совпадение служит косвенным подтверждением правильности выбора
явного выражения для J,'.
45
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РАЗВИВАЕМОЙ ТЕОРИИ
Из выражения (6.1) для производства энтропии можно сделать вывод, что
производство энтропии
обусловлено отличием от нуля величин grad
grad Т, -- ($Фа) и divu0. Эти величины принято д-*р
называть термодинамическими силами, а сопряженные сними величины-
потоками. Заметим, однако, что разбиение на потоки и силы неоднозначно.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 35 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed