Феноменологическая термодинамика необратимых процессов (физические основы) - Гуров К.П.
Скачать (прямая ссылка):
или уноса потенциальной энергии конвективным потоком, т. е.
Ф± = _ div(P^u0) (5.14)
dt
и, следовательно, в выражении (5.13) члены, содержащие г|), взаимно
уничтожаются.
Остается, таким образом, проанализировать члены, Р"2
содержащие -- •
Для этого учтем гидродинамическое уравнение движения (а, р - обозначение
составляющих вектора или тензора в декартовой системе координат)
т52-- (5Л5>
dt J-1 дХа р /-1 дХа
Здесь Ра?-тензор напряжений,
/За0 = /Зба0 + Пар, (5.16)
где Р - давление, бар-символ Кронекера,
[1 при (J = а,
(0 при[Р^а,
ПаЭ-тензор, ответственный за эффекты вязкости
31
-С
("Тензор вязких напряжений"). Этот тензор можно разбить на две части -
тензоры, связанные с "первой" и "второй" вязкостью, т. е.
П"е = П$ + п$, (5.16')
со свойствами
ПЙ* 0, (5.17)
nSg-nSX. (5 18)
При этом величина
n=i-2lU2> (5.19)
a=i
называется вязким давлением.
Можно показать (подробнее см., например, [16]),
что
+ ¦ (5'20)
3 Ait
П?2 = -СЗ-т^ = -Б<Нуи0, (5.21)
v=i v
так что
3 ди
П = = (5.22)
7=1 У
Коэффициенты г) и ? называются коэффициентами первой и второй вязкости,
причем г)>0, ?>0. Тензор Пар приводит к "сдвиговым" эффектам
(динамическое трение), а тензор П(ар - к объемным.
Приведенные здесь результаты потребуются нам ниже.
Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению
э( -,
величин --------- и div (иа) • Имеем (с учетом
32
уравнения непрерывности (3.9)) . ,
dt 4 dt 2 dt " dt 2
u°) = у div (P u0) + P u0 grad =
fi 2 3 3 Qj.
- ~T div (p U0) + 2 2 РЫоаЫор-
dxa
Отсюда
Ж
dt
-div(^LUo) =
(r) dw (r) (r) du
'- 3 p"" -f- 2 2 р"*л" if ¦ <8-23>
a=i a=i 8=1
a
Сюда еще следует подставить duoa/dt по уравнению движения (5.15). В
результате вместо (5.13) получаем
de 3 3 du
p^.==_divJyl_divJ,+ 2 2 PU°a"p-^ +
3 8 дп 8 8
+ S S it- S3 ¦ <5-24>
0=1 0=1 Р a=i 0=1 а
Поскольку во всех членах правой части (5.24) а и р - "немые индексы" (по
ним производится суммирование), то последний и третий члены взаимно
уничтожаются, а в четвертом можно поменять индексы. Тогда получим
А 8 3 ар
P^ = _divj^-divj?+ 2 2 ir- <5-25)
a-1 6=1
¦'а
Это выражение удобно подвергнуть и дальнейшему преобразованию. Для этого
учтем явный вид плотности потока энергии, созданного механической
работой.
2 К. П. Гуров 33
Составляющие вектора JA имеют вид
3
JАа == ^ РаЭ^оЭ • (5.26)
=1
Сообразуясь с этим выражением, преобразуем последний член правой части
(5.25):
ЭР (r) 8 Л 9 3
s s -a se-uv**)- s s =
а=х Э=х <1=1 Р=1 а а=х 3=1 а
-divj^-зз
а
а=1 0=1
Подставляя этот результат в (5.25), получим
p| = -divj,-s 2 Р"р^г • (5-27>
а=1 Р=1 о
Итак, полученные результаты (5.9) и (5.27) позволяют преобразовать
выражение (5.8)
р*e±p*+Lp*
dt Т dt Т dt
к виду
"т-<5-28>
0=1 Р=1
а
Здесь возможно и дальнейшее преобразование, если учесть приведенные выше
формулы (5.16) - (5.19) для тензора напряжения:
Рар - Р&аэ П$ -f- Пбор.
Учет этого соотношения дает
Кроме того, как будет видно из дальнейшего, целесообразно еще
использовать следующее преобразование:
"г1 = div - J,grad ^ = div (А) + igrad Т.
(5.30)
В результате сопоставляются уравнения
Р^- div Js -f os (5.31)
at
и
е?--Ц?)+,""1а|-'(г)-
4 s * &ипЛ П
-f S S --div u0, (5.32)
0=1 3=1 "
(P^a)
а уравнение баланса энтропии записывается в виде ЗВ? = _ div (ps u0 +
+ Jq grad ^ -
-fS i n$^-idivu,(5.33)
a=i 3=1 a
(P^a)
Формальное сопоставление уравнений (5.31) и (5.32) подсказывает, что за
J, следует принять 5JT, а за о - все остальные члены в правой части
уравнения (5.32). Однако такое сопоставление нельзя считать однозначным и
к этому вопросу подробнее мы вернемся в следующем параграфе.
Перейдем теперь к обобщению полученных результатов на случай
многокомпонентной (л-компонентной) системы, но, как было оговорено в
предисловии, не будем рассматривать случай химических реакций.
Прежде всего заметим, что теперь потенциальная энергия приносится в
физический элементарный объем или уносится из него не только конвективным
потоком, но и диффузным, равным
4иф = 2 - "о).
*=1
2*
35
так что
vKOHB , |ДНф Jij> "Г Jijj =
п п п
= 2 ^ uo + S Рл^ (Uf ~ uo) = S рмUf-f=) f=l i=1
В итоге все рассуждения на стр. 31 остаются в силе, только в формулы
(5.13) и (5.14) вместо р-фи0 надо
П
подставить ^ р^и,*, а вместо р*ф надо подставить t=i
п
2 рф; в результате по-прежнему все члены, содер-
жащие -ф,-, исключаются из рассмотрения. Новое связано с учетом
соотношения (4.2) в полном виде, т. е. теперь уравнение (5.31)
сопоставляется уравнению
р ^.".Lp.*+Ар (5.34)
dt Т dt Т dt ^ Т dt
(=i
Здесь первые два члена правой части приводят к прежним результатам (5.32)
и (5.33). Значит, остается только проанализировать последний член правой
части. Учтем, что С{ = рг/р, так что
dc, до с, до, .
р = -1Г + div (рс>' uo) = + div Uo)-
dt dt dt
Ho
или
= - div Jt - div (Pi u0),
Ot
где J/ = pj(Uj-u0) - плотность парциального диффузионного потока. В
результате получаем
P^L==_divj;, (5.35)
dt
36
следовательно,
fj T dt А т
(5.36)
