Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
приобретает вид
О"" - Х(1 + т) в " - А(/3 - Хт)0 =0, (4 49)
?=А0-0".
Характерный размер задачи L положим равным полутолшине пластинки Л. Э/'с
,
' /н, tк = vb2 /к, а тепловое граничное условие
Тогда = Доb2/с
Э Т
(4.48) переходит в соотношения
^00(1 )+0'(1) = О, Ц/о0(-1)-0'(-1) = О, (4.50)
где Wu = hb/к. В рассматриваемой геометрии магнитная индукция всюду вне
образца равна Ba(t). Это означает, что на поверхности пластинки
возмущение магнитного поля равно нулю, и. следовательно ?* (±1) = 0.
Таким образом, электродинамическое граничное условие с помощью (4.49)
можно записать в виде
?'(±1) = (А0'-0'")|х = ±1 = 0. (4.51)
Во внешнем магнитном поле в пластинке могут возникать два характерных
распределения магнитного поля. В первом случае в критическом 118
состоянии находится весь объем сверхпроводника (см. рис. 1.12). Перепад
магнитной индукции при этом максимален и равен АВ = Ва - В (0) = = Вр -
Hoicb. Плотность тока на поверхности х= 0 скачком меняет направление на
противоположное, одновременно меняет направление и электрическое поле ?.
Это означает, что если А В = Вр, то систему уравнений (4.4^) нужно
независимо решать справа и слева от плоскости х = 0, а при х = 0 сшить
соответствующие решения по непрерывности температуры, потока тепла и
электрического поля:
?(0) = 0.
Во втором случае в критическом состоянии находится часть объема
сверхпроводника (| х \ > 8), причем АВ < Вр (см. рис. 1.12). В области |
х \ < 5 плотность тока равна нулю, следовательно, та-г отсутствует
электрическое поле и тепловыделение. В результате, если АВ < Вр, то в
области I ' I < 6 система (4.49) приобретает вид
На поверхности х= ±6 решения уравнений (4.49) и (4.53) следует сшить по
непрерывности температуры, потока тепла и электрического поля:
?(±6) = 0.
Рассмотрим в качестве примера наиболее простой случай, когда АВ = Вр.
Решение уравнения (4.49) для 0 (х) имеет вид
0(х) = Ci exp(A.'iX)+C2exp(-А:,х)+С3ехр(/А:2х)+С4ехр( - ik2x),
(4.55)
где
С помощью граничных условий (4.50), (4.51) и условий непрерывности (4.52)
можно показать, что нетривиальный набор С, существует, если
0(+О) = 0(-О), 0'(+О) = 0'(-О),
(4.52)
А0-0" = 0,
(4.53)
? = 0.
0(±6 +0) = 0(±6 - 0), 0'(±6+О) = 0'(±6 - 0),
(4.54)
(4.56)
Д(Л J,t, Wlt) = Аа + ВоД,- = 0,
(4.57)
где
Д" = -klk2(k2 +к2) cos&j chkt [Ac,(Л + к\) th-
-к2(к\ - X)tg*2],
Д,- = 2Л:,Л:2(Х-A:?)(X+A:i)-ЛгмЛ:2 cos*2 ch Л:, [(X - к\)2 + +
(А+А2)2]+(Л^ -А2)(Л-А2)(А + kj) sinк2 shЛ,.
(4.58)
(4.59)
119
Рис. 4.6. Зависимость /3c(r) (1 - W0 > 1; 2 -W" = 1; 3 - W" = 0)
Рис. 4.7. Изменение зависимости Л.г (/3) по мерс увеличения параметра т:
a) W0 Ф 0, т < 1;
б) И'" = 0, т < 1
Дисперсионное уравнение (4.57) для определения зависимости Х((3,т, й/0)
можно решить численно и убедиться в том, что спектр собственных значений
Х(Р, т, Wv) имеет вид, показанный на рис. 4.3. Для иллюстрации на рис.
4.6 показана найденная путем численного расчета функция Рс(т) ПРИ т < 1 и
различных W0 [80].
В области значений параметров, где | X | > 1, зависимость Д(Х) можно
разложить по степеням | X | > 1 и свести трансцендентное уравнение (4.57)
к алгебраическому [118]:
х2 + IV0X3'2 + - Vj)x +
W0V / IT \ 7Г2 / я2\
*-<4-60)
В предельных случаях 1V0 > VI X | ("хорошее" охлаждение) и 1V0 <g 1
("плохое" охлаждение) соотношение (4.60) сводится к (4.22) и (4.18)
соответственно, еои| положить у = 7т/2. Совпадение результатов точного
расчета и качественной теории подтверждает правильность сделанных при
выводе (4.18) и (4.22) предположений и позволяет найти численный
множитель 7^1. Подставив в неравенство > \/l X | выражение (4.23),
определяющее Х(. при Wb > 1, получим критерий применимости приближе-120
ния изотермически охлаждаемого образца в виде W0 > 1. Пусть,
например, г = 10_3, к = 10-1 Вт/мК, Ъ = КГ4 м, тогда условие W0 ~ т~1/3
соответствует h ~ 104 Вт/м2 К.
В случае ''плохого" охлаждения (1V0<^ \/l А | ) из (4.60) следует, что
Если W0 = 0, то выражения (4.61) совпадают с (4.19), где следует положить
у = я/2. Условием применимости соотношений (4.61) является нера-
скачка магнитного потока образец является теплоизолированным.
С ростом параметра т, как показывает анализ уравнения (4.57), область
положительных значений Х2 = Re X (/3) сдвигается в сторону больших /3,
т.е. критическое состояние становится устойчивее. Кроме того, кривая Х2
(Р) деформируется так, что величина Ас убьюает (рис. 4.7). Физически это
легко понять, если вспомнить о роли резистивного тока ( д/"/дt ^ X т ),
который демпфирует возмущения с большими X (''электромагнитная" ветвь
спектра), компенсируя уменьшение jс, обусловленное разогревом. Напротив,
на возмущения с малыми X (''тепловая" ветвь спектра) величина г влияет
слабо, гораздо сильнее на их развитии сказывается теплоотвод.
В случае теплоизолированного образца (1V0 = 0) на кривой Х2 (Р) при г < 1
существует точка /3(0) > рс, в которой Х2 = 0 (см. рис. 4.7). Величина
/3(0) не зависит от т, и если АВ = Вр, то /3(0) = 3. По мере увеличения
