Физика композитных сверхпроводников - Гуревич А.Вл.
Скачать (прямая ссылка):
Так как разогрев образца происходит адиабатически, то для определения
нового стационарного значения температуры Т0 +8Т можно записать закон
сохранения энергии;
v8T = Q0+Ql=v8Tv+QI. (4.3)
103
В этом параграфе мы воспользуемся простейшей моделью критического
состояния - моделью Бина, т.е. положим jc(T, В) = jc(T, Ва). Это
приближение, как будет видно из дальнейшего, представляет наибольший
практический интерес.
Для оценки величины ?>i следует определить напряженность электрического
поля ЪЕ, что можно сделать с помощью уравнения Максвелла:
tyro t rot ЬЕ = - До ~ • (4-4)
Так как / - jc
э/ а/?.
a t
то
ajc
в"
(4.5)
ът + а? ът ъва
Здесь и ниже точка над буквой означает дифференцирование по времени.
Учитывая, что мы интересуемся развитием термомагнитной неустойчивости,
т.е. процессом, в котором температура и магнитный поток изменяются
быстро, вторым слагаемым в (4.5), связанным с относительно медленным
изменением внешнего магнитного поля, можно пренебречь. Тогда, подставляя
выражение (4.5) в (4.4) и воспользовавшись оценкой | rot rot ЪЕ \ ~
~ЪЕ/Ь2 (см. рис. 4.2), получим
aje
- 6 Т, (4.6)
ЪТ
ЪЕ~ ц0Ь2
где L - характерный масддтаб изменения электрического поля в образце
(например, в случае, изображенном на рис. 4.1, 4.2,6, L = /). С помощью
(4.6) и (4.2) находим, что
Q\ ~ - ВоL2jc
ЭЛ-
37'
/3
67'= - vbT, У
где 7 - число порядка единицы, точное значение которого зависит от
геометрии задачи, а
/3 =
BoL2jc
djc
ЪТ
(4.7)
Параметр /3 характеризует спонтанный разогрев сверхпроводника, вызванный
малым внешним возмущением. Он является одной из основных величин,
определяющих устойчивость критического состояния в сверхпроводниках.
Подставим выражение для Q\ в уравнение (4.3), находим
6 То
67'=---- (4.8)
1-/3/72
Из (4.8) видно, что когда /3 -*¦ у2, величина 6Г неограниченно растет при
любой величине ''затравочной" флуктуации 67'0, а для (3>у2 стационарное
значение температуры отсутствует. Следовательно, критическое состояние
устойчиво, лишь если
Mo L2jc Ъ}с
¦----< у . (4.9)
ЪТ
0 =
104
Отсюда, в частности, следует, что
L<Lj= у
(4.10)
Критерий устойчивости (4.10) накладывает ограничение на размер области, в
которой может течь ток с плотностью /с.
Перепишем соотношение (4.9) в несколько ином виде. Подставим для этого в
(4.9) вместо величины L глубину экранировки /. В рассматриваемом случае
плоской геометрии в модели критического состояния Бина (имеем (см.
(1.38))
/= AB/uoic-
Тогда из (4.9) получим
Критерий устойчивости критического состояния (4.11) накладывает
ограничение на максимальную величину перепада индукции магнитного поля в
образце. Впервые он был получен из аналогичных качественных соображений в
работе [119] и носит название ''адиабатического" критерия устойчивости.
Оценим величины Lj и Bj. При характерных для жестких сверхпроводников
значениях параметров: v ~ 103 ^ 104 Дж/м3 - К, /с ~3 • 109 А/м2,
Э/с/ЭТjj(Тс - Т0), Тс - Т0 ~5 Кнаходим с помощью (4.10) и (4.11), что Lj
~ 10_s - 10~4 м, a Bj ~ (1 - 3) • 10"' Тл. Несмотря на довольно грубые
приближения, сделанные выше, эти оценки величин Lj и Bj хорошо
согласуются с соответствующими экспериментальными данными (см., например
[120-124]).
Исследуем, исходя их тех же наглядных физических соображений, динамику
развития термомагнитной неустойчивости при т< 1 [117, 118], т.е. изучим
развитие малых возмущений температуры и электромагнитного поля во
времени. Будем, как всегда при анализе на устойчивость, искать 8Т и 8Е в
виде
где характерное время диффузии потока тепла tK = vL2 /к выбрано для
обезразмеривания времени. Подлежащая определению функция Л(/3, г) (спектр
собственных значений) позволяет найти безразмерную частоту (ImX) и
инкремент (Re Л) нарастания термомагнитной неустойчивости. Таким образом,
характерное время развития возмущений температуры и электрического поля
tj, как видно из (4.12), порядка
''Адиабатичность" скачка магнитного потока (т <g 1) означает, что tj<tK
или | X | > 1. В частности, при выводе критерия устойчивости (4.9) мы,
по-существу, полагали | X | = °°. Именно в этом приближении справедливо
локальное соотношение (4.3), которое учитывает, что выделившееся где-либо
тепло не успевает оттуда отводиться.
(4.11)
8Т = 8T0exp{Xt/tK), 8Е= 8E0exp[Xt/tK},
(4-12)
tj~tjIX |
105
Скачок магнитного потока обусловлен двумя взаимосвязанными процессами
диффузии - тепла и магнитного потока. Следовательно, он развивается
медленнее самого быстрого из них, в данном случае - медленнее диффузии
магнитного потока. Таким образом, мы можем предположить выполненным
соотношение Ц> tm или | X |r < 1. Ниже для ''адиабатического" скачка
магнитного потока неравенства |Х|>1и|Х|г<1 будут подтверждены точным
расчетом.
Для анализа развития термомагнитной неустойчивости во времени
уравнения баланса тепла (4.3) недостаточно. Поэтому воспользуемся
уравне-
нием теплопроводности:
v8T= к А8Т + jc8E. (4.13)
Проинтегрировав его по времени и оценив АТ как - 8T/L2 (см. рис. 4.2),
