Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 55

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 199 >> Следующая

коразмерности не более двух. Множество матриц с жордановой формой,
включающей ровно один блок вида (g д), образует такое многообразие
коразмерности два.
Упражнение 3.1.6. В пространстве матриц 2x2 найдите явную форму множеств
матриц, имеющих:
(1) простое нулевое собственное значение;
(2) пару чисто мнимых собственных значений;
(3) жорданову форму (° J);
(4) жорданову форму ("°).
Покажите, что каждое из этих множеств является подмногообразием в R4, и
найдите его коразмерность. (Намек: используйте теорему о неявной
функции.)
Если написать достаточно длинный список свойств трансверсальности, то
имеется некоторая надежда, что семейства вида (3.1.1) с бифуркацией
некоторого данного типа все будут иметь качественно одинаковую динамику
вблизи бифуркации. Наилучшее определение "качественно одинаковой
160
Глава 3
динамики" неясно. Существуют несколько альтернативных вариантов, и мы
хотим выбрать из них тот, который был бы достаточно строгим и в то же
время охватывал относящиеся к делу примеры. Данная дихотомия не имеет
удовлетворительного решения, и попытки определить, какие из примеров
удовлетворяют тому или иному альтернативному определению, связаны со
многими спорными техническими вопросами. Вместо того чтобы иметь дело с
конкретным определением, опишем для каждого рассматриваемого примера те
динамические черты, которые с очевидностью сохраняются при возмущениях.
Список подходящих примеров одномерных и двумерных семейств, которые
следует изучить, представляется довольно полным (за исключением тех
ситуаций, в которых имеется большая группа симметрий).
Таким образом, описанные выше методы позволяют составить такой список
"нормальных форм" коразмерности один и два для матриц Якоби Dxfn,
вычисленных в точке бифуркации (хо,ро)-
Коразмерность один
(i) Простое нулевое собственное значение:
ад =
о о
0 А
(й) Простая пара чисто мнимых собственных значений:
Dxf,i =
0 - LO
LU 0
о
Коразмерность два
(iii) Двойной нуль, недиагонализуемый:
0 1 о о о
(iv) Простой нуль + чисто мнимая пара:
ад =
'0 -LU О'
U1 0 0 0
.0 0 0
0 А_
3.2. Центральные мноеообразия
161
(v) Две различных чисто мнимых пары:
'0 -UJi 0 0
LOl 0 0 0
0 0 0 -LU-2
_0 0 W2 0
0 А.
Во всех случаях А - матрица подходящей размерности ((п-1) х (гг-1), (п -
2) х (п - 2) и т. д.), все собственные значения которой имеют ненулевые
вещественные части.
При обсуждении отдельных бифуркаций мы будем использовать понятия
коразмерности и деформации. Коразмерностью бифуркации является наименьшая
размерность пространства параметров, которое содержит данную бифуркацию в
устойчивой форме. Деформация - это некоторое семейство, содержащее данную
бифуркацию в устойчивой форме. Мы проиллюстрируем эти определения и
разовьем их далее в разделе 3.4 при обсуждении бифуркаций систем, имеющих
в положении равновесия простое собственное значение.
Перед тем как обсудить локальные бифуркации коразмерности один,
рассмотрим два общих метода, позволяющих вводить системы координат, в
которых вычисления облегчаются. Применение этих методов позволяет свести
задачу к нескольким определенным системам дифференциальных уравнений,
поведение которых определяет качественные черты каждого из типов
бифуркаций. Еще раз подчеркнем, что эти методы по своей природе локальны
и могут применяться лишь к бифуркациям положений равновесия и
периодических орбит.
3.2. Центральные многообразия
В этом разделе мы начинаем развивать методы, необходимые для анализа
бифуркационных проблем. Мы обсудим и сформулируем теорему о центральном
многообразии, предоставляющую возможность систематического понижения
размерности пространства состояний, которое следует рассматривать при
анализе бифуркаций данного типа. Мы используем систему Лоренца и ее
бифуркацию при р = 1 в качестве примера, иллюстрирующего роль центральных
многообразий при расчете бифуркаций. Рассмотрению подлежат две
аналогичных ситуации: положение равновесия векторного поля и неподвижная
точка диффеоморфизма. Второй из случаев часто возникает при изучении
отображения Пуанкаре для некоторой периодической орбиты или потока.
162
Глава 3
Допустим, что мы имеем некоторую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений х = f(x), причем /(0) = 0. Если линейная часть / в начале
координат не имеет чисто мнимых собственных значений, то, по теореме
Хартмана (теорема 1.3.1), число собственных значений с положительными и
отрицательными действительными частями определяет топологическую
эквивалентность потоков вблизи нуля. При наличии собственных значений с
нулевыми вещественными частями, поток вблизи начала координат может быть
чрезвычайно сложным. Мы уже встретились с некоторыми примерами, ниже
следуют другие.
УПРАЖНЕНИЕ 3.2.1. Определите топологические свойства потоков для
следующих систем вблизи начала координат:
(a) х = ж2;
(b) х = у - х(х2 + у2), у = -х - у(х2 + у2). (Подсказка: перейдите к
полярным координатам.)
(c) х = ж3 -3ху2, у = - Зж2у + у3. (Подсказка: см. уравнение (1.8.23) и
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed